1椭圆课本习题之引伸
椭圆问题由课本中习题引到高考题
(一)椭圆定义 第一定义:在平面内,一个动点 M 到两定点 F 1 、F 2 的距离之和等于2a(2a>F 1 F 2 )的轨迹叫椭圆。
双曲线第一定义:在平面内,一个动点 M 到两定点 F 1 、F 2 的距离之差等于 2a(2a<F 1 F 2 )的轨迹叫双曲线。
第二定义:在平面内,一个动点 M 到定点 F 的距离与定直线cax2 的距之比等于ac(a>c>0)的轨迹叫椭圆。(课本习题例题推广)
双曲线第二定义:在平面内,一个动点 M 到定点 F 的距离与到定直线cax2 距离之比等于ac(c>a>0)的轨迹叫双曲线。(课本习题例题推广)
第三定义:在平面内,一个动点 M 与两定点 A 1 ) 0 , ( a 、A 2 ) 0 , (a 的连线斜率之积等于 022 b aab的轨迹叫椭圆。(课本习题例题推广)
双曲线第三定义:在平面内,一个动点 M 与两定点 A 1 ) 0 , ( a 、A 2 ) 0 , (a的连线斜率之积等于 0 , 022 b aab的轨迹叫双曲线。(课本习题例题推广)
(二)椭圆的一个重要性质 1. 设 AB 是椭圆 ) 0 ( 12222 b abyax的一条过原点的弦, M 是椭圆上的一个动点,求证:22abK KMB MA 。
2. 设 AB 是双曲线 ) 0 , 0 ( 12222 b abyax的一条过原点的弦, M 是双
曲线上的一个动点,求证:22abK KMB MA 。
3. 设 PQ 是有心圆锥曲线 ) 0 , 0 ( 12 2 B A By Ax 的一条过原点的弦, M 是这曲线上的一个动点,求证:BAK KMQ MP 。
(三)课本一个习题的引伸 已知圆 16 1 :221 y x F , 和定点 ) 0 , 1 (2F , P 是圆1F 上的动点,连2 1 ,PFPF ,2PF 的中垂线 HM 与1PF 交于点 M , H 为2PF 的中点,动点 M的轨迹记为曲线 C 。
(1)求曲线 C 的方程(课本 P35T7 之变式);(2)直线 l 过点1F 且与曲线 C 交于 B A, 两点,求 AB 的最小值;(3)接(2),当 B F A F1 12 时,求直线 l 的方程;(4)接(2),是否存在这样的直线 l ,使oAOB 90 ?(5)曲线 C 与 x 轴交于 T S, 两点,求四边形 ASBT 的面积最小值或最大值(16 年高考);(6)设 DE 是曲线 C 过2F 且与 AB 垂直的另一条弦,求四边形 ADBE 面积 的最小值或最大值(16 年高考); (7)已知点 ) 0 , 4 ( Q ,AB 是曲线 C 过2F 弦,求证:
OQB OQA (18 年高考题);(8)过点Q 作直线 l 与曲线 C 交于 B A, 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为B,求证:B F A , ,2三点共线(18 年高考题之逆);(9)直线 t x 与椭圆交于 K R, 两点,两动直线 SR 与 TK 交于点 N ,求动点 N 的轨迹方程;(07 年广东高考题)(10)
M 是曲线 C 上的点动点,求1MF 的最大值和最小值;(11)求2 1MF MF 的最大值;(12)当2 1 MFF 最大时,求 M 点的坐标,请给出推导过程;(13)当oMF F 602 1 时,求2 1 MFF 的面积。
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