[北京工业大学期末考试概率统计试题概率统计(工)试题答案x]

北京工业大学

概率论与数理统计课程期末考试(工类)试题答案

一.填空题(每空3分，共30分)

设 P(A)=0.5, P(B) = 0.6, P(AUB) = 0.7,贝 ^P(A\B}= 2/3

若X为［0.1］区间上均匀分布，iSA = {0.1<X<0.3), 丫表示对X进行25次

独立观测时事件A发生的次数。则￡(/)= 5 , Var(Y) = 4 。

若随机变量X”X2相互独立，且X】?N(3, 32),兀?N(l, 22),令

X=Xl-2X2,则X ? N(l, 52) ,P{TvX<6}= 0.6826 。

注］:①(力为正态分布N(0, 1)的分布函数，0(1) = 0.8413。

设随机变量X的数学期望E(X) = 7,方差Var(X) = 5 ,用切比雪夫不等式估

计得 P{2 < X < 12} > 0. 8 o

若XjX?,…,X'm >2)为抽自正态总体N(“,cr，)的随机样本，记

则 亦(乂一“)/b?N (O 1) , Vh(X 一“)/ VF ? 如 ，⑺-1)52/(72 ?

6■设X|血…兀是抽自正态总体N(〃J)的简单样本，则〃的置信系数为0. 95

的置信区间为［X-0.196 , 乂+0.196］。

注 2： Z。为正态分布N(0, 1)的右ot分位0<a<1, Z0025 = 1.96 , Zoa5 =1.645 □

二 计算题(每题14分，共70分，做题时须写出解题过程，否则不能得分)

有型号相同的产品两箱，第一箱装12件产品，其中两件为次品；笫二箱 装8件，其中一件为次品。先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱，再从 第二箱中随机抽取一件。

.求从第二箱中取出次品的概率；

.若从第二箱中取出了次品，求从第一箱中未取到次品的概率。

解 以儿表示从第一箱中取到j件次品,z = 04.2： B表示从第二箱中取到次品。则

⑴? P(B) = P( A/) + P(4B) + P(A2B)

=P(A))P(31 A)) + P(AIA) + p(a2)p(b i a2)

C；°C； 2 | U)C[ 3

c\ io To

10x9 10x8 2x3

1 1

12x11x10 12x11x10 12x11x10 2

15

(2).P(凡 I

(2).

P(凡 I B)=

￡GM)

P(B)

10x9 15_45

12x11x10 T" 88

1 + A' € (—1.0] 9

设随机变量X有概率密度函数f(x)= 1 -x, A-e(0.1],令丫 =

0, 其他，

.求丫的概率密度函数,/y(y)；

.求丫的期望E(Y)与方差Var(Y)o

解(1)?记竹(刃为随机变量Y的分布函数，则注0时，几(刃=0；兀(0,1]时,

rz _

Fr(y) = P(Y < y) = P(X2< y) = P(—“ <X<V7)= = 2&_y;

y〉l时，Fr(y) = 1 o 于是，

y w(0,l], 其他；

y w(0,l], 其他；

(2). E(K) = E(X2) = | ix~ f{x)dx =j x2(l + x)dx +|*x2(l -x)dx = ￡: 由 E(X°) = J ]x4f(x)dx =f ]x"(1 + x)dx +￡x4(l -=右 及

Var(Y) = E(Y2)-[E(Y)]2 = E(X4)-[E(X2)]2 , 得Var(Y)=丄一丄=丄.

15 36 180

设二维随机向量(XV)的联合概率密度函数为

0 < x < y < 00,

其他

.求常数G

.求X和Y的边缘概率密度办(a)和fY (刃:

.求 P(X + Yvl)。

解⑴.由 1 = J j f(X. y)dxdy = ( c ? Q dx = c￡ ye^xdx = c ,得 c = 1；

(2).o,x>0,八 =<

(2).

o,

心匸fyeJo0,dx. y >0, = Jy ?厂

心匸

fye

Jo

0,

dx. y >0, = Jy ?厂

_ 0,

y<0

y > o, y<o；

. P(X + Y< l) = ['dxj「ydy =['(￡” _/T)dx = (l_￡T/2)2

若XpX2,--sXJn>2)为抽自总体X的随机样本，总体X有概率密度函数

,x>0,

,x>0,

x<0.

其中&>0常数。求：(1). 0的矩估计6； (2). 0的极大似然估计

解 记 X =—￡“。由 E(X)= J* f(x；0)dx =丄 x.0e?dx = +。利用

TOC \o "1-5" \h \z 1 1

X = E(X)9得X ?解该式，得0

0 X

记厶(0) = U?；0) = ene ne 7为参数。的似然函数，则对似然函数为

InL^)=n\x\0-nOX.

进一步，有警例=巴-忆令〃讥⑹=0,得@ =丄

de e do x

设一批1000克包装袋装食盐的重量服从正态分布心小,其中“和ct为 未知常数，b>0°为检查包装质量，从生产线上随机抽取食盐10袋，并称 其重量，得样本均值7 = 998.45,样本方差r=5.76/o对检验水平a = 0.05, 做检验：

（】）? H（）:〃 = 1000，厲：〃工1000； （2）. Hq : o-2 = 4.0，也:/工4.0?

附 /分布与*分布表

r9(0.025) = 2.2622

/9(0.05) = 1.8331

rlo(O.O25) = 2.2281

rlo(O.O5) = 1.8125

加(0.025) = 19.023

加(0.05) = 16.919

加(0.975) = 2700

加(0.95) = 3.325

加j (0.025) = 20.483

^(0.05) = 18.307

加(0.975) = 3.247

^,(0.95) = 3.940

解：由/?= 10 , a = 0.05? X =99&4, F二5.76, s = 2.4, “)= 1000,巧= 2.0-

.因 1.6=lx-1000l<(5/)xr/H(a/2)=(2.4/VlO) x2.2622= 1.7169 , 故，接受Hj为真,即接受“总体均值“ = 1000”的假设；

.因

12.96=5 e z；.,(l-a/2),⑵=(2.700, 19.023),

故，接受H；为真,即接受“总体方差/ = 4”。