6.4,平面向量应用--几何、物理（解析版）
6.4 平面向量的应用-- 几何、物理
1. 向量在平面几何中的应用；2. 向量在物理中的应用；3. 用向量方法探究存在性问题.
一、单选题 1．（2020·全国课时练习）设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且 AOOB DO OC ,则四边形 ABCD 是(
) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 【答案】B 【解析】
由已知得 ABDC ,即 , AB DC 是相等向量,因此 , AB DC 的模相等,方向相同, 即四边形 ABCD 是平行四边形.故选 B. 2．（2020·桂阳县第二中学期中）在 ABC 中，若 0 CA CB CA CB ，则 ABC 为（
）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】C 【解析】
在 ABC 中， (CA CB
2 22 2) ( ) 0 CA CB CA CB b a ， a b ， ABC 为等腰三角形， 故选：C． 3． （2020·吉林扶余市第一中学期中）在ABC 中， AB ACBA BC CA CB ，则 ABC 的形状为（
）． A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】B 【解析】
因为AB AC BA BC ，所以 0 AB AC BC ， 即 0 AB CA CB ， 所以在 ABC 中， AB 与 AB 边上的中线垂直，则 CA CB ， 同理 0 BC AC AB ， AC AB ， 所以 AC AB CB ， ABC 是等边三角形． 故选：B 4．（2019·江西新余·高二期末（文））若 AB · BC +2AB<0,则△ABC 必定是（
）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】
AB · BC +2AB= AB ·( BC + AB ) = AB · AC <0, 即| AB || AC |cos A<0, ∴cos A<0, ∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形.故选 B. 5．（2020·全国高一专题练习）一条河的宽度为 d ，一只船从 A 处出发到河的正对岸 B 处，船速为1 v，水速为2 v，则船行到 B 处时，行驶速度的大小为（
）
A．2 21 2 v v B．2 21 2 v v
C．2 21 2 v v D．2 21 2 v v
【答案】D 【解析】
如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识， 可得船行驶的速度大小为2 21 2v v . 故选：D.
6．（2020·朝阳·北京八十中高一期中）一质点受到平面上的三个力1 F，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知1F ，2F 成 60 角，且1F ，2F 的大小分别为 2 和 4，则3F 的大小为（
）
A．6 B．2 C．8 D． 2 7
【答案】D 【解析】
根据题意，得 3 21 F F F2 21 2 1 22 F F F F 2 22 4 2 2 4 cos60
2 7 ， 3F 的大小为 2 7 . 故选：D.
7．（2020·四川内江·高一期末（理））在四边形 ABCD 中， (1, 3) AB DC ， || | |BA BC BDBA BC BD ，则四边形 ABCD 的面积为（
）
A． 2 3
B． 3
C． 4 3
D．2 【答案】A 【解析】
因为 (1, 3) AB DC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形， 又| | | |BA BC BDBA BC BD ，则 BD 平分 ABC ，则四边形 ABCD 为菱形. 且 120 ABC ，由 2 AB DC ，则 2 BC , 所以四边形 ABCD 的面积为3sin120 2 2 2 32S BA BC . 故选：A. 8．（2020·湖北襄城·襄阳五中高一月考）两个大小相等的共点力1 2F F ， ，当它们夹角为 90 时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为 120 时，合力大小为（
）
A． 40N
B． 10 2N
C． 20 2N
D． 10 3N
【答案】B 【解析】
设合力为0F ， 由平行四边形法则可知，2 01 cos45 10 2N F F F ， 当1F 和2F 的夹角为 120 时，由平行四边形法则，1 0 210 2N F F F ， 故选:B.
9．（2020·衡水市第十四中学高一月考）如图所示，设 P 为 ABC 所在平面内的一点，并且1 14 2AP AB AC ，则 BPC 与 ABC 的面积之比等于（
）
A．25 B．35 C．34 D．14 【答案】D 【解析】
延长 AP交 BC 于点 D，因为 A、P、D 三点共线， 所以 ( 1) CP mCA nCD m n ，设 CDkCB
代入可得 CPmCA nkCB 即 ( ) (1 ) AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nkAB
又因为1 14 2AP AB AC ，即1 1,14 2nk m nk ，且 1 m n
解得1 3,4 4m n
所以1 34 4CP CA CD 可得4 AD PD
因为 BPC 与 ABC 有相同的底边，所以面积之比就等于 DP 与 AD 之比 所以 BPC 与 ABC 的面积之比为14
故选 D 10．（2020·河南开封·高一期末）已知 O 是平面上的一定点， 、 、 A B C 是平面上不共线的三个动点，点 P 满
足 OPOA coscosAB ACAC CAB B，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（
）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【解析】
coscosAB ACOP OAAC CAB B， coscosAB ACAPAC CAB B cos coscos cos cos cosBC AB B BC AC CBC AB BC ACBC APAB B AC C AB B AC C 0 BC AP BC BC
所以 BC AP ， 动点 P 在 BC 的高线上，动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心， 故选：C 二、多选题 11．（2020·江苏如东·高一期末）在 ABC 中， 2,3 AB ， 1, AC k ，若 ABC 是直角三角形，则 k的值可以是（
）
A． 1
B． 113 C．3 132 D．3 132 【答案】BCD 【解析】
若 A 为直角，则 AB AC 即0 AC AB 2 3 0 k 解得23k
若 B Ð 为直角，则 BC AB 即0 BC AB 2,3 , 1, AB AC k 1, 3 BC k
2 3 9 0 k 解得113k
若 C 为直角，则 BC AC ，即0 BC AC 2,3 , 1, AB AC k
1, 3 BC k
1 3 0 k k 解得3 132k
综合可得， k 的值可能为2 11 3 13 3 13, , ,3 3 2 2
故选：
BCD
12．（2020·全国高一单元测试）点 P 是 ABC 所在平面内一点,满足 2 0 PB PC PB PC PA ,则ABC 的形状不可能是(
) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】AD 【解析】
∵P 是 ABC 所在平面内一点，且 | | | 2 | 0 PB PC PB PC PA ， ∴ | | |( ) ( )| 0 CB PB PA PC PA ， 即 | | | | CB AC AB ， ∴ | | | | AB AC AC AB ， 两边平方并化简得0 AC AB ， ∴ ACAB ， ∴ 90 A ，则 ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 13．（2020·济南市历城第二中学高一开学考试）点 O在 ABC 所在的平面内,则以下说法正确的有(
) A．若 0OA OB OC ,则点 O为 ABC 的重心 B．若0AC AB BC BAOA OBAC AB BC BA ,则点 O为 ABC 的垂心 C．若 ( ) ( ) 0 OA OB AB OB OC BC ,则点 O为 ABC 的外心 D．若 OA OBOB OC OC OA ,则点 O为 ABC 的内心 【答案】AC 【解析】
选项 A，设 D为 BC 的中点，由于 ( ) 2 OA OB OC OD ，所以 O 为 BC 边上中线的三等分点(靠近点 D)，所以 O为 ABC 的重心； 选项 B，向量 ,| | | |AC ABAC AB分别表示在边 AC 和 AB 上的单位向量，设为AC和AB，则它们的差是向量BC ，则当0| | | |AC ABOAAC AB ，即 OAB C 时，点 O在 BAC 的平分线上，同理由0| | | |BC BAOBBC BA ，知点 O在 ABC 的平分线上，故 O为 ABC 的内心； 选项 C， OAOB 是以 , OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而 AB｜ ｜ 是该平行四边形的另一条对角线， ( ) 0 AB OA OB 表示这个平行四边形是菱形，即 | | | | OA OB ，同理有 | | | | OB OC ，于是 O为ABC 的外心； 选项 D，由 OA OBOB OC 得0 OA OB OB OC ， ∴ ( ) 0 OB OA OC ，即0 OB CA ， ∴ OBCA ． 同理可证 , OA CB OC AB ， ∴ OB CA ， OA CB ， OC AB ，即点 O是 ABC 的垂心； 故选：AC ．
14．（2020·全国高一课时练习）在 ABC 中，下列结论正确的是(
) A． ABAC BC B． AB BCAB BC
C．若 0 AB AC AB AC ,则 ABC 为等腰三角形 D．若0 AC AB ,则 ABC 为锐角三角形 【答案】BC 【解析】
对于 A, ABAC CB ,故 A中结论错误； 对于 B,设 为向量 AB 与 BC 的夹角,因为 cos AB BC AB BC ,而 cos 1 ,故AB BC AB BC ,故 B 中结论正确； 对于 C, 2 20 AB AC AB AC AB AC ,故 AB AC ,所以 ABC 为等腰三角形,故 C 中结论正确； 对于 D,取6A B ,23C ,满足 cos 0 AC AB AC AB A ,但 ABC 为钝角三角形,故 D中结论错误. 故选：BC. 三、填空题 15． （2020·海南临高二中期末）在 ABC 中，已知 4 AB AC ，且8 AB AC ，则 ABC 的形状为______． 【答案】等边三角形 【解析】
| | | |1cos2AB ACBBA ACAC ，因为 (0, ) BAC ，所以3BAC ， 又因为 4 AB AC ,所以 ABC 为等边三角形. 故答案为：等边三角形 16．（2020·全国高二课时练习）已知 | | 5 OA ， || 2 OB uuur， , 60 OA OB ，2 OC OA OB ，2 OD OA OB ，则以 OC ， OD 为邻边的平行四边形 OCED 的对角线 OE 的长为________．
【答案】
199
【解析】
∵ OEOC OD ，∴2 2 2 2| | ( ) (2 2 ) (3 ) OE OC OD OA OB OA OB OA OB 2 29| | | | 6 9 25 4 6 5 2 cos60 199 OA OB OA OB ． ∴ | | 199 OE ，即 199 OE ． 故答案为：
199
17．（2020·新乡市第一中学高一月考）如图，等腰三角形 ABC ， 2 AB AC ， 120 BAC ． E ， F分别为边 AB ， AC 上的动点，且满足 AEmAB ， AFnAC ，其中 m ，(0,1) n， 1 m n ， M ，N 分别是 EF ， BC 的中点，则 || MN 的最小值为_____.
【答案】12 【解析】
MN AN AM 1 1( ) ( )2 2AB AC mAB nAC
1 1(1 ) (1 )2 2m AB n AC
2 2 22 21 1 1(1 ) (1 ) (1 )(1 )4 4 2MN m AB n AC m n AB AC
2 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) m n m n ； 1 m n ， 1 n m ，代入上式得：
22 2(1 ) (1 ) MN m m m m 23 3 1 m m
21 13( )2 4m ； (0,1) m；
12m 时，2MN取最小值14； | | MN 的最小值为12． 故答案为：12． 四、双空题 18．（2020·山东诸城·高一期中）如图所示，把一个物体放在倾斜角为 30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力 G，沿着斜面向上的摩擦力1F ，垂直斜面向上的弹力2F ．已知180N F ，则G 的大小为________，2F 的大小为________．
【答案】
160N
80 3N
【解析】
如图，由向量分解的平行四边形法则， 1 2| | | |sin30 , cos30| | | |o oF FG G
计算可得：2160 , 80 3 G N F N
故答案为：
160 ,80 3 N N
19．（2020·全国高一课时练习）如图所示，两根绳子把质量为 1kg 的物体吊在水平杆 AB 上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s 2 ），绳子在 A，B 处与铅垂方向的夹角分别为 30° ， 60 ，则绳子 AC 和 BC 的拉力的大小分别为______，______.
【答案】
5 3N
5N
【解析】
设绳子 AC和 BC 的拉力分别为1f ，2f ，物体的重力用 fuv表示，则 10N f ，1 2f f f .如图，以 C为起点，分别作1CE f ，2CF f ， CG f ，则 30 ECG ， 60 FCG ，∴3cos30 10 5 32CE CG ，1cos60 10 52CF CG ， ∴绳子 AC 的拉力大小为 5 3N ，绳子 BC 的拉力大小为 5 N.
故答案为：
5 3N ，5N 20． （2020·抚顺市第十中学高一月考）已知直角梯形 ABCD 中，// AD BC ， 90 ADC ， 2 AD ， 1 BC ，P 是腰 DC 上的动点，则3 PA PB 的最小值为_________；此时PDCD __________. 【答案】
5
34
【解析】
如图所示，以直线 DA ， DC 分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系， 设 CD a ，则 2,0 A ， 1, B a ， 0, C a ， 0,0 D
设 0, 0 ( ) P b b a ，则 2, PA b ， 1, PB a b ， 所以 3 5,3 4 PA PB a b ，所以 23 25 3 4 5 PA PB a b ， 此时 3 4 a b ，即34PD bCD a ， 3 PA PB 的最小值为 5.
故答案为: 5 ;34.
21．（2019·全国高三专题练习（理））已知矩形 ABCD 中 2 AB ， 1 AD ，当每个 ( 1,2,3,4,5,6)ii 取遍 时，1 2 3 4 5 6AB BC CD DA AC BD 的最小值是_____，最大值是_______． 【答案】0
2 17
【解析】
建立如图所示坐标系：
2,0 , 2,1 , 0,1 B C D
,则 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 3 5 6 2 4 5 6|2,0 0,1 2,0 0, 1 2,1 2,12 2 2 2 ,AB BC CD DA AC BD 由题意若使模长最大，则1 3 2 42, 2,
不妨设为1 3 2 42, 2,
则 1 2 3 4 5 65 6 5 64 2 2 ,2AB BC CD DA AC BD 当5 6 5 62, 0 时模长最大为 2 17
当1 2 3 4 5 61, 1, 1, 1, 1, 1 时模长最小值为 0 故答案为：0； 2 17
五、解答题 22．（2020·海南临高二中期末）某人在静水中游泳，速度为 4 3 千米/时，现在他在水流速度为 4 千米/时的河中游泳. （1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】（1）沿与河岸成 60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/时
（2）沿向量 ADuuuv的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为33游，实际前进的速度大小为 4 2 千米/时 【解析】
（1）如图，设此人游泳的速度为 OB ，水流的速度为 OA ， 以 OA，OB 为邻边作 QACB，则此人的实际速度为 OAOB OC ， 由勾股定理知 | | 8 OC ，且在 Rt ACO 中，∠COA=60°， 故此人沿与河岸成 60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/时；
（2）如图，设此人的实际速度为 ODuuur，水流速度为 OA ，则游速为 ADOD OA ，
在 Rt△AOD中， | | 4 3 AD ， | | 4 OA ，则 | | 4 2 OD ，3cos3DAO ，
故此人沿向量 AD 的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为33游，实际前进的速度大小为 4 2 千米/时． 23．（2020·甘肃城关·兰州一中期末）在平面直角坐标系 xoy中，点 ( 1, 2), (2,3), ( 2, 1) A B C ． （1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数 t 满足 ( ) 0 AB tOC OC ，求 t的值． 【答案】（1）
4 2 、 2 10 ；（2）115-
【解析】
(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1), 则 AB + AC =(2,6), AB - AC =(4,4). 所以| AB ...
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