统计、统计案例x_《应用数理统计》答案

统计、统计案例

考点五：随机抽样

对某商店一个月 30 天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ，则该样本的中位数、众数、极差

分别是（

）

A ． 46， 45， 56

B． 46，45， 53

C． 47，45， 56

D． 45，47， 53

某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测

试成绩分成 6 组： [40 ，50)，[50 ， 60)，[60，70)， [70 ，80)，

[80 ， 90)， [90 ， 100] 加以统计，得到如图所示的频率分布直

方图．已知高一年级共有学生

600 名，据此估计，该模块测

试成绩不少于 60 分的学生人数为

（

）

A．588

B． 480

C．450

D． 120

3.(2013 ·阜阳模拟 ) 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎

叶图 ( 其中 m为数字 0～ 9 中的一个 ), 去掉一个最高分和一个最低分后 , 甲、乙两名选手得分

的平均数分别为 a1,a 2, 则一定有 ( )

(A)a 1>a2

(B)a 2>a1

(C)a 1=a2

(D)a 1,a 2 的大小与 m的 有关 【来源：全 , 品?中

&高 * 考 * 3.【思路点 】 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据 ,剩下的数只要

算其叶上的数字之和 ,即可作出判断 .【来源：全 ,品 ? 中& 高 *考 * 网】

【解析】 B.去掉一个最高分和一个最低分后 ,甲 手叶上的数字之和是 5+4+5+5+1=20,

乙 手叶上的数字之和是 4+4+6+4+7=25, 故 a2 >a 1 .

网】 4.(2013 ·安 模 ) 某著名 集 了减 生 成本 走高的 力 , 划提高某种

品的价格 , 此 售部在 10 月 1 日至 10 月 5 日 五天 某个大型批 市 中 品一

天的 售量及其价格 行了 , 其中 品的价格 x( 元 ) 与 售量 y( 万件 ) 之 的数据如

表所示 :

日期 10月1日 10月2日 10月 3日 10月4日 10月 5日

价格 x( 元 ) 9 9.5 10 10.5 11

售量

11 10 8 6 5

y( 万件 )

已知 售量 y 与价格 x 之 具有 性相关关系 , 其回 直 方程 :y=a-3.2x, 若 集 提高

价格后 批 市 的日 售量 7.36 万件 , 品的价格

( )

(A)14.2 元 (B)10.8 元

(C)14.8



元(D)10.2



元

6【.解析】选 D.依题意



=10,



=8. 因为线性回归直线必过样本中心点



( , ),所以 8=-3.2



×10+a,

解得



a=40.



所以回归直线方程为



y=40-3.2x.



令



y=7.36,



则



7.36=-3.2x+40,



解得



x=10.2.



所

以该产品的价格约为



10.2 元.

5. 给出以下三幅统计图及四个命题 :

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况; ② 2050 年非洲人口大约将达到

15 亿 ; ③2050

年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 ; ④从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速

度最慢



.

其中命题正确的是



(



)

(A) ①② (B) ①③ (C) ①④ (D)



②④

5.【解析】选



B.①显然正确



;从条形统计图中可得到



,2050



年非洲人口大约将达到



18 亿,②错 ;

从扇形统计图中能够明显地得到结论



:2050



年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多



,③正

确;由上述三幅统计图并不能得出从



1957



年到



2050



年中哪个洲人口增长速度最慢



,故④错

误.

6.(2012 ·陕西高考 ) 如图是用模拟方法估计圆周率

π 的程序框图 ,P 表示估计结果 , 则图中空白框内应

填入 ( )

(A)P= (B)P=

(C)P= (D)P=

【思路点 】 首先 懂程序框 的含 ,其中 懂 + ≤1 是关 ,然后 化 几何概型确定

周率 π的表达式 ,最后得出 P 的表达式 .

【解析】 D.∵xi,yi 0 ～1 之 的随机数 ,构成以 1 的正方形面 ,当 + ≤1 ,

点(x i,y i)均落在以原点 心 ,以 1 半径且在第一象限的 内 ,当 + >1 , 点

落在阴影部分中 (如 所示 ).因此有 = ,N π=4M-M π,得π(M+N)=4M, 所以 π

= .

7.(2013 ·上 模 ) 某 市 出售西 柿 , 当价格上 , 供 量相 增加 , 而需求量相

减少 , 具体 果如下表 :

表 1 市 供 量

价 ( 元 /kg)

2

2.5

3

3.3

3.5

4

供 量 (1 000kg)

50

60

70

75

80

90

表 2

市 需求量

价 ( 元 /kg)

4

3.5

3.2

2.8

2.4

2

需求量 (1 000kg)

50

60

65

70

75

80

根据以上提供的信息 , 市 供需平衡点 ( 即供 量和需求量相等 的 价 ) 在的区 是

( )

(A) (2.4,2.5) (B)(2.5,2.8) (C)(2.8,3)(D)(3,3.2) 【来源：全 , 品?中 &高 * 考 *

网】3.【解析】 C.由表 1,表 2 可知 ,当市 供 量 60 ～ 70 ,市 价 2.5 ～ 3;当市

需求量 65 ～ 70 ,市 价 2.8 ～3.2, ∴市 供需平衡点 在 (2.8,3) 内 ,故 C.

8. 商 在国 黄金周的促 活 中 , 10 月 2 日 9 至 14

的 售 行 , 其 率分布直方 如 所示 , 已知 9 至

10 时的销售额为 2.5 万元 , 则 11 时至 12 时的销售额为 ( )

(A)6 万元 (B)8

万元

(C)10

万元 (D)12

万元

5.【解析】 选 C.设 11 时至 12 时的销售额为 x 万元 ,由

= ,得 x=10,

故选 C.

9.(2013 ·西安模拟 ) 一组数据共有

7 个整数 , 记得其中有 2,2,2,4,5,10,

还有一个数没记清 ,

但知道这组数的平均数、 中位数、众数依次成等差数列

, 这个数的所有可能值的和为

(

)

(A)11(B)3(C)17(D)9

6.【思路点拨】 分别由不同的情况求出这个数各种可能的值

,再求和 .

【解析】选 D.设没记清的数为 x,若 x≤2,则这列数为 x,2,2,2,4,5,10, 则平均数为

,中位数为

2,众数为 2,所以 2 ×2=

+2, 得 x=-11;

若 2<x ≤4,则这列数为 2,2,2,x,4,5,10, 则平均数为

,中位数为 x,众数为 2,所以 2x=

+2,

得 x=3;

若 x≥5,则这列数为 2,2,2,4,5,x,10 或 2,2,2,4,5,10,x, 则平均数为 ,中位数为 4,众数为 2,所

以 2×4=

+2, 得 x=17.

所以这个数的所有可能值的和为

-11+3+17=9,

故选 D.

10.(2013

·马鞍山模拟 ) 一个样本容量为 10 的样本数据 , 它们组成一个公差不为 0

的等差数

列{a n}, 若 a3=8, 且 a1,a 3,a

7 成等比数列 , 则此样本的平均数和中位数分别是

(

)

(A)13,12(B)13,13(C)12,13(D)13,14

2.【解析】 选 B.设公差为 d, 则有

=(a 3 -2d)(a

3+4d), 又 a3

=8, 解得 d=2,

所以这 10

个样本是

4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,

故此样本的平均数和中位数都是

13.

11. 将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组 , 绘制频率分布直方图 , 若第一组至第六组的数据的

频率之比为 2∶ 3∶ 4∶ 6∶ 4∶1, 且前三组数据的频数之和为 27, 则 n= .

【解析】 由已知 ,得 ×n=27, 即 ×n=27, 解得 n=60.

答案： 60

下列说法 :

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后 , 标准差恒不变 ;

②设有一个回归方程



y=3-5x,



变量



x 增加一个单位时



,y



平均增加



5 个单位



;

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系



;

④在一个 2× 2 的列联表中 , 由计算得 χ2=13.079, 则没有证据显示两个变量间有关系 .

其中错误的个数是 .

【解析】 根据标准差的计算公式 ,可知①正确 .对② ,变量 x 增加一个单位 ,y 平均减少 5 个

单位 ,故不正确 .对③ ,不是相关关系 ,而是确定性关系 .对④ ,

13.079>6.635, 则有 99% 的把握认为两个变量有关系 .

答案： 3

1

其中 a： b： c＝ 2∶ 5∶3，全校参加登山的人数占总人数的 . 为了了解学生对本次活动的满

4

意程度， 按分层抽样的方式从中抽取一个



200 人的样本进行调查， 则高三年级参加跑步的学

生中应抽取



(



)

A．15 人 B ．30 人

C．40 人 D ．45 人

【广东省广州市执信、广雅、六中2014 届高三 10 月三校联考 ( 文）】（本小题满分 12

分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者 .现从符合条件的志愿

者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 20,25 ，第 2 组 25,30 ，第 3 组 30,35 ，第

4 组 35,40 ，第 5 组 [40, 45] ，得到的频率分布直方图如图所示 .

（1）若从第 3， 4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，应从第

3， 4，5 组各抽取多少名志愿者？

（2）在（ 1）的条件下，该县决定在这



6 名志愿者中随机抽取



2 名志愿者介绍宣传经验，求

第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率



.

【福建省安溪一中、德化一中 2014 届高三摸底联考数学文】 （本题满分 12 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）

[80,85)

[85,90)

[90,95)

[95,100)

频数（个）

5

10

20

15

（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在 [90， 95 ) 的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在 [80 ，85 ) 和 [95 ，100 ) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在

[80 ，85 ) 的有几个？

(Ⅲ )在（ 2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80，85)和 [95， 100)中各有 1 个的

概率。

20.(14 分 )(2012 ·湖南高考 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 , 安排一名员工

随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 , 如下表所示 .

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12

件

13至16件

17 件及以上

顾客数 ( 人)

x

30

25

y

10

结算时间

1

1.5

2

2.5

3

(分钟/人)

已知这 100 位顾客中一次购物量超过

8 件的顾客占 55%.

(1) 确定 x,y 的值 , 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.

(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 .( 将频率视为概率 )

21. 【解析】



(1) 由已知得



25+y+10=55,x+30=45,



所以



x=15,y=20.

超市所有 客一次 物的 算 成一个 体 可 体的一个容量 100 的 随机 本本平均数估 ,其估



,所收集的 100 位 客一次 物的 算

, 客一次 物的 算 的平均 可用

=1.9( 分 ).

(2) A 事件“一位 客一次 物的 算 不超 2 分 ” ,A 1,A 2 ,A 3 分 表示事件“

客一次 物的 算 1 分 ”“ 客一次 物的 算 1.5 分 ”“ 客一次

物的 算 2 分 ” .将 率 概率得

P(A 1 )=



= ,P(A 2 )=



= ,

P(A 3 )=



=.

因 A=A 1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件 ,

所以 P(A)=P(A 1∪ A2 ∪ A 3)=P(A 1 )+P(A 2)+P(A 3 )= +

故一位 客一次 物的 算 不超 2 分 的概率



+=

.



.

21.(2012



·安徽高考



) 若某 品的直径 与 准 的差的 不超



1mm , 合格品



,

否 不合格品 . 在近期一次 品抽 中

件 行 , 果 有 50 件不合格品 . 算



, 从某厂生 的此种 品中 , 随机抽取

50 件不合格品的直径 与 准 的差



5000

(

位:mm), 将所得数据分



, 得到如下 率分布表



:

分



数



率

-3 ～-2



0.10

8【来源：

-2 ～-1

全, 品?中

&高*考*

网】

【来源：

全, 品?中

1～2 0.50

&高*考*

网】

2～3 10

3～4

合 50 1.00

(1) 将上面表格中缺少的数据填充完整 .

(2) 估 厂生 的此种 品中 , 不合格品的直径 与 准 的差落在区 1～ 3 内的概率 .

厂 种 品的某个批次 行 , 果 有 20 件不合格品 . 据此估算 批 品中的合格品的件数 .

【思路点 】 (1) 利用 率 = 求解 .

利用 率估 概率 .

【解析】 (1)

分

数

率

-3

～-2

5

0.10

-2

～-1

8

0.16

1

～2

25

0.50

2

～3

10

0.20

3

～4

2

0.04

合 50 1.00

(2)

不合格品的直径长与标准值的差落在区间

1～ 3

内的概率为

0.50+0.20=0.70.

答:不合格品的直径长与标准值的差落在区间

1～ 3

内的概率为

0.70.

(3)

合格品的件数为

20 ×

-20=1980(

件 ).

答:合格品的件数为

1980

件 .

23.（成都石室中学 2014 届高三上学期期中）

成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的有

参赛资格， 90 分以下（不包括 90 分）的则被淘汰。若现有 500 人参加测试，学生成绩的频

率分布直方图如下：

（ I ）求获得参赛资格的人数；

（ II ）根据频率直方图， 估算这 500 名学

生测试的平均成绩；

（ III ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初

赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累

计答对 3 题或答错 3 题即终止，答对 3 题

者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一

个问题的概率都相同，并且相互之间没有

影响，已知他连续两次答错的概率为 1 ，

9

求甲在初赛中答题个数的分布列及数学

期望。

解： (1) (0.005+0.0043+0.032)*20*500=0.25*500=125 2 分

(2) (40*0.0065+60*0.0140+80*0.0170+100*0.0050+120*0.0043+140*0.0032)*20

=(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)*20=78.48

5 分

(3) 甲答 每一道 的概率

.P

(1

p)2

1

p

2

9

3

可能取得值为 ，，

3 4 5

P(

3)

P 3

(1 P)3

1

3

P(

4)

C32 P2 (1

P)P C32 (1 P)2 P(1

P)

10

27

P(

5)

1 1

10

8

3

27

27

的分布列

3

4

5

P

1

10

8

3

27

27

E 3*1

4* 10

5 * 8

=

107 12 分

3

27

27

27

24.（成都市

2014 届高三上学期摸底）

某 将 10 名技工平均分成甲、乙两 加工某种零件，

在 位 内每个技工加工的合格零件数的 数据的茎叶

如 所示．

（ I）已知两 技工在 位 内加工的合格零件数的平均数

都



10，分 求出



m，n 的；

（Ⅱ）分 求出甲、 乙两 技工在 位 内加工的合格零件数的方差



S甲2 和 S乙2 ，并由

此分析两 技工的加工水平；

（Ⅲ） 部 从 甲、 乙两 技工中各随机抽取一名技工， 其加工的零件 行

，若两人加工的合格零件数之和大于 17， 称 “ 量合格 ”，求 “ 量

合格 ”的概率．

（注：方差， s2 1 [( x1 x)2

(x2 x) 2

(xn x) 2 ，其中 x 数据 x1 ，x2， ? ，

n

xn 的

平均数）

25.（泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断）

在一次数学统考后，某班随机抽取 10 名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎

叶图如下．

（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；

（Ⅱ）现从 10 个样本中随机抽出 2 名学生的成绩，设选出学生

的分数为 90 分以上的人数为 X，求随机变量 的分布列和均值．

解：（Ⅰ）样本的平均成绩

x

92

98

98

85

85

74

74

74

60

60

， 2

分

10

80

方差 s2 1 [(92

80)2

(98

80) 2

(98

80) 2

(85

80)

2

10

(85

80) 2

(74

80) 2

(74

80)2

(74

80) 2

(60

80) 2

(60

80)2] 4分

175；6 分

（Ⅱ）由题意知选出学生的分数为 90 分以上的人数为 ，得到随机变量 X 0,1,2 ．7

分

P(

0)

C 72

7

， P(

1)

C13 C71

7

， P(

2)

C 32

1

．10 分

C

2

15

C2

15

C2

15

10

10

10

0

1

2

P

7

7

1

15

15

15

E

0

7

1

7

2

1

3． 12分

15

15

15

5

某中学对高二甲、乙两个同类班级进

行“加强 ‘语文阅读理解 ’训练对提高 ‘数学应用题 ’得分率作用 ”的试验，其中甲班为试验班

(加强语文阅读理解训练 ) ，乙班为对比班 (常规教学，无额外训练 )，在试验前的测试中，甲、

乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致， 试验结束后， 统计几次数学应用题测试的平

均成绩 (均取整数 )如下表所示：

60 分以

61～70

71

～ 80

81～ 90

91

～ 100

下

分

分

分

分

甲班 (人数 )

3

6

11

18

12

乙班 (人数 )

4

8

13

15

10

现规定平均成绩在 80 分以上 (不含 80 分 )的为优秀．

试分别估计两个班级的优秀率；

由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并问是否有 95%的把握认为 “加强 ‘语文阅读理解’训练对提高 ‘数学应用题 ’得分率 ”有帮助 .

优秀人数 非优秀人数 合计

甲班

乙班

合计

解： (1)由题意知，甲、乙两班均有学生

50 人，

30

甲班优秀人数为 30 人，优秀率为 50＝ 60%，

乙班优秀人数为 25 人，优秀率为 2550＝ 50%，

所以甲、乙两班的优秀率分别为 60(2)列联表如下：

优秀人数

非优秀人数

合计

甲班

30

20

50

乙班

25

25

50

合计

55

45

100

100 ××25－ 20×

2

2

100

因为 χ＝

50×50×55×45

＝ 99 ≈ 1.010，

所以由参考数据知， 没有 95%的把握认为 “加强 ‘语文阅读理解 ’训练对提高 ‘数学应用题 ’得分

率”有帮助．