专题40,概率中单调性与最值问题（原卷版）

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　专题 40

　概率中的单调性与最值问题 一、题型选讲 题型一 、概率中的单调性问题 例 1、【2019 年高考浙江卷】设 0＜a＜1，则随机变量 X 的分布列是 X

　0

　a

　1

　P

　13 13 13 则当 a 在（0 ， 1）内增大时， A． ( ) D X 增大

　 B． ( ) D X 减小 C． ( ) D X 先增大后减小

　 D． ( ) D X 先减小后增大

　例 2、【2018 年高考浙江卷】设 0 1 p   ，随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 P 12p  12 2p 则当 p 在（0，1）内增大时， A．D（ξ）减小

　B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大

　D．D（ξ）先增大后减小 例 3、【2020 年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2, ,n ，且1( ) 0( 1,2, , ), 1ni iiP X i p i n p    ，定义 X 的信息熵21( ) logni iiH X p p   . A．若 n=1，则 H(X)=0 B．若 n=2，则 H(X)随着1p 的增大而增大 C．若1( 1,2, , )ip i nn  ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 1,2, ,m ，且2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m     ，则H(X)≤H(Y) 题型二、 概率中的最值问题 例 4、（2020·浙江温州中学高三 3 月月考）随机变量  的可能值有 1，2，3，且   1 3 1 P p     ，  3 1 P p     ，则   D  的最大值为（

　）

　A．89 B．1716 C．2625 D．1

　 2 例 5、（2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）随机变量 的分布列如下：

　-1 0 1

　 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（

　 ）

　A．

　B．

　C．

　D．

　例 6、（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有 个红球与 个白球， 盒中有 个红球与 个白球（ ），若从 ， 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为（

　）

　A．3 B．5 C．7 D．9 例 7、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量 的分布列如下：

　1 2 3

　 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　例 8、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本 （万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在 ，， ， ， ， ， （单位：

　）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示. ξξP a bca b c Dξ23592934A Bm 10 m B 10 m m 0 10 m  A B ( ) D  mXXPa b ca b c   D X29593423  5 15 x x   322316 309 10xC x x x      25.26,25.30  25.30,25.34   25.34,25.38   25.38,25.42   25.42,25.46   25.46,25.50   25.50,25.54mm

　 3

　产品的品质情况和相应的价格 （元/件）与年产量 之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围 价格与产量 的函数关系式 优

　 中

　 差

　以频率作为概率解决如下问题：

　（1）求实数 的值； （2）当产量 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量 ，求随机变量 的分布列； （3）估计当年产量 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

　 m xm x  25.34,25.46 34 m x     25.26,25.343255m x     25.46,25.543205m x   ax  x

　 4 二、达标训练

　1、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， 2.4 DX  ， ( 4) ( 6) P X P X    ，则 p 

　A．0.7

　B．0.6 C．0.4

　D．0.3 2、（2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设 ，随机变量 的分布列如下表所示

　1 2 3

　 已知 ，则当 在 内增大时， 的变化情况（

　）

　A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．增大 D．减小 3、（2020 届浙江省台州市温岭中学 3 月模拟）已知 ，随机变量 ， 的分布列如表所示，则（

　）

　 A． ， B． ，

　C． ， D． ，

　4、 （2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟）已知随机变量 ξ 满足 P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若1(0, ),2x 则（

　）

　A．E(ξ)随着 x 的增大而增大，D (ξ)随着 x 的增大而增大 B．E(ξ)随着 x 的增大而减小，D(ξ)随着 x 的增大而增大 C．E(ξ)随着 x 的增大而减小，D(ξ)随着 x 的增大而减小 D．E(ξ)随着 x 的增大而增大，D(ξ)随着 x 的增大而减小 5、（2020·浙江学军中学高三 3 月月考）已知 a，b 为实数，随机变量 X，Y 的分布列如下：

　102b   XXPa b c( ) 2 E X  b10,2   ( ) D Xc a   n4 3 2p ab c2 3 4p ab cE E    D D    E E    D D   E E    D D    E E    D D   

　 5 X -1 0 1

　Y -1 0 1 P

　 P a b c 若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 相互独立，则 取值范围的是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　6、（2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）设 ，相互独立的两个随机变量 ， 的分布列如下表：

　-1 1

　 -1 1

　则当 在 内增大时（

　）

　A． 减小，增大 B． 减小，减小 C． 增大，增大 D． 增大，减小 7、（2020·浙江温州中学 3 月高考模拟）已知随机变量 X 的分布列如下表：

　X

　0 1 P a b c 其中 a，b， .若 X 的方差 对所有 都成立，则（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　8、（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设 ，随机变量 的分布列是：

　 0 1

　 则当 在 内增大时（

　）

　A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 131216    1 E Y P Y   XY  XY   E 3,14   1,018   1,118   3,14   112p   P2313P1 p pp1,12     E      D      E      D     E      D      E      D   1 0 c   13D X    0,1 a b  13b 23b 13b 23b 023a   XX 1 Pa23a13a203   ，  D X   D X   D X   D X