第一章,导数及其应用（基础过关）（解析版）

　第 第 1 章

　导数及其应用 基础过关卷 卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ （考试时间：120 分钟

　试卷满分：150 分）

　一、 单项选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　）

　）

　1.曲线 y＝x 3 +lnx+1 在点（1，2）处的切线方程为（

　）

　A．3x﹣y﹣1＝0 B．4x﹣y﹣2＝0 C．4x+y﹣6＝0 D．3x+y﹣5＝0 【解答】解：由 y＝x 3 +lnx+1，得 ， ∴曲线在（1，2）处的斜率 k＝y"| x ＝ 1 ＝4， ∴曲线在点（1，2）处的切线方程为 y﹣2＝4（x﹣1）， 即 4x﹣y﹣2＝0． 故选：B． 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

　2.函数 f（x）＝x 2 ﹣2lnx 的单调减区间是（

　）

　A．（0，1] B．[1，+∞）

　C．（﹣∞，﹣1]∪（0，1] D．[﹣1，0）∪（0，1] 【解答】解：f′（x）＝2x﹣ ＝ ，（x＞0）， 令 f′（x）≤0，解得：0＜x≤1， 故选：A． 【知识点】利用导数研究函数的单调性

　3.定义域为 R 的函数 f（x）满足 f′（x）＞f（x），则不等式 e x﹣ 1 f（x）＜f（2x﹣1）的解为（

　）

　A．

　B．

　C．（1，+∞）

　D．（2，+∞）

　【解答】解：令 g（x）＝ ，则 g′（x）＝ ＞0， 故 g（x）在 R 递增， 不等式 e x﹣ 1 f（x）＜f（2x﹣1）， 即 ＜ ， 故 g（x）＜g（2x﹣1）， 故 x＜2x﹣1，解得：x＞1， 故选：C． 【知识点】利用导数研究函数的单调性

　 4.函数 f（x）＝e x ﹣kx，当 x∈（0，+∞）时，f（x）≥0 恒成立，则 k 的取值范围是（

　）

　A．k≤1 B．k≤2 C．k≤e D．

　【解答】解：依题意，e x ﹣kx≥0 在（0，+∞）上恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立， 令 ，则 ， 当 x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单减，当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单增， ∴g（x）

　min ＝g（1）＝e， ∴k≤e． 故选：C． 【知识点】利用导数研究函数的最值

　5.已知函数 f（x）＝f"（e）+xlnx，则 f（1）+f"（1）＝（

　）

　A．1+e B．3 C．2+e D．2 【解答】解：根据题意，函数 f（x）＝f"（e）+xlnx， 其导数 f′（x）＝lnx+1，则 f′（e）＝lne+1＝2， 故 f（x）＝2+xlnx，则 f（1）＝2，f′（1）＝1， 故 f（1）+f"（1）＝3； 故选：B． 【知识点】导数的运算

　6.曲线 y＝x 2 和 y＝2x+3 围成的封闭面积是（

　）

　A．

　B．

　C．10 D．

　【解答】解：根据题意， ，解可得 x 1 ＝﹣1，x 2 ＝3， 则曲线 y＝x 2 和 y＝2x+3 围成的封闭面积 S＝ （2x+3﹣x 2 ）dx＝（x 2 +3x﹣ ）

　＝ ； 故选：A． 【知识点】定积分的应用

　7.如图是函数 y＝f（x）的导数 y＝f"（x）的图象，则下面判断正确的是（

　）

　A．在（﹣3，1）内 f（x）是增函数

　B．在 x＝1 时 f（x）取得极大值

　C．在（4，5）内 f（x）是增函数

　D．在 x＝2 时 f（x）取得极小值 【解答】解：根据题意，依次分析选项：

　对于 A，在（﹣3，﹣ ）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A 错误； 对于 B，在（﹣ ，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1 不是 f（x）的极大值点，B错误； 对于 C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C 正确； 对于 D，在（﹣ ，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在 x＝2 时 f（x）取得极大值，D 错误； 故选：C． 【知识点】利用导数研究函数的单调性

　8.函数 f（x）＝x 3 +ax 2 ﹣（3+2a）x+1 在 x＝1 处取得极大值，则实数 a 的取值范围为（

　）

　A．（﹣∞，﹣3）

　B．（﹣3，+∞）

　C．（﹣∞，3）

　D．（3，+∞）

　【解答】解：f′（x）＝3x 2 +2ax﹣（3+2a），f′（1）＝0，f′（x）的一个零点为 x 1 ＝1， 由韦达定理可知，f′（x）的另一个零点为 ， 因为 f（x）在 x＝1 处取得极大值， 所以 f′（x）在 x＝1 的左侧附近大于 0，右侧附近小于 0， 因为二次函数 f′（x）是开口向上的抛物线， 所以 x 1 ＜x 2 ，即 ，解得 a＜﹣3． 故选：A． 【知识点】利用导数研究函数的极值

　9.下列函数求导运算错误的个数为（

　）

　①（3 x ）′＝3 x log 3 e；②（log 2 x）′＝ ；③（ln2x）′＝ ；④（ ）′＝x；⑤（e﹣ x ）′＝﹣e﹣ x

　A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：根据题意，依次分析各式的计算：

　①（3 x ）′＝3 x ln3，错误； ②（log 2 x）′＝ ，正确； ③（ln2x）′＝ ＝ ，错误；

　④（ ）′＝ ＝﹣ ，错误； ⑤（e﹣ x ）′＝﹣e ﹣ x ，正确；其中计算错误的有：①③④； 故选：C． 【知识点】导数的运算

　10.函数 f（x）＝xe x +1 的单调递减区间是（

　）

　A．（﹣∞，1）

　B．（1，+∞）

　C．（﹣∞，﹣1）

　D．（﹣1，+∞）

　【解答】解：f′（x）＝（x+1）e x ， 当 x＜﹣1 时，f′（x）＜0，函数单调递减， 故选：C． 【知识点】利用导数研究函数的单调性

　11.在直角坐标系中，设 O 为原点，M 为任意一点．定义：质点 M 的位置向量 关于时间的函数叫做质点M的运动方程．已知质点M的运动方程 ，则质点M在t＝1时刻的瞬时速度为（

　）

　A．﹣10 B．

　C．10 D．5 【解答】解：∵质点 M 的运动方程 ，即 s＝﹣5t 2 ， ∴s"＝s"（t）＝﹣10t， ∴当 t＝1 时，s"（1）＝﹣10， 故选：A． 【知识点】变化的快慢与变化率

　12.已知定义在（0，+∞）上的函数 f（x），恒为正数的 f（x）符合 f（x）＜f′（x）＜2f（x），则 的取值范围为（

　）

　A．（e，2e）

　B．

　C．（e，e 3 ）

　D．

　【解答】解：令 g（x）＝ ，x∈（0，+∞）， ∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜f′（x）， ∴g′（x）＝ ＝ ＞0， ∴g（x）＝

　在区间（0，+∞）上单调递增， ∴g（1）＝ ＜ ＝g（2）， ∴ ＜ ①；

　再令 h（x）＝ ，x∈（0，+∞）， ∵∀x∈（0，+∞），f′（x）＜2f（x）恒成立， ∴h′（x）＝ ＝ ＜0， ∴函数 h（x）在 x∈（0，+∞）上单调递减， ∴h（1）＝ ＞ ＝h（2）， ∴ ＞ ②， 综上①②可得：

　＜ ＜ ． 故选：D． 【知识点】利用导数研究函数的单调性

　二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）

　13.若函数 f（x）＝e x ﹣x 2 ﹣ax 在区间（0，+∞）单调递增，则 a 的取值范围是

　﹣∞ ﹣

　． 【解答】解：函数 f（x）＝e x ﹣x 2 ﹣ax 在区间（0，+∞）单调递增， ∴f′（x）＝e x ﹣2x﹣a≥0 在区间（0，+∞）上恒成立， 即 a≤e x ﹣2x 在区间（0，+∞）上恒成立， 令 y＝e x ﹣2x 其在（0，+∞）上单调递增， ∴y′＝e x ﹣2，当 y′＝0 时 x＝ln2， ∴0＜x＜lm2 时，y′＜0 函数递减， x＞ln2 时，y′＞0；函数递增 ∴y min ＝e ln2 ﹣2ln2＝2﹣2ln2， ∴a≤2﹣2ln2； 故答案为：（﹣∞，2﹣2ln2]． 【知识点】利用导数研究函数的单调性

　14.已知函数 f（x）＝xe x﹣ 1 ，则曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线方程为

　﹣ ． 【解答】解：f′（x）＝xe x﹣ 1 +e x ﹣ 1

　f′（1）＝2，f（1）＝1， 故切线方程是：y﹣1＝2（x﹣1）， 即 y＝2x﹣1； 故答案为：y＝2x﹣1． 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

　15.已知函数 f（x）＝log a x（a＞0 且 a≠1），f′（x）为 f（x）的导函数，且满足 f′（1）＝1，则 a＝

　． 【解答】解：f（x）＝log a x（a＞0 且 a≠1），则 f′（x）＝ ， ∴f′（1）＝ ＝1，

　∴a＝e， 故答案为：e 【知识点】导数的运算

　16.已知函数 f（x）＝2x+ +1，函数 g（x）＝（ ）

　x ﹣m，若对任意的 x 1 ∈[1，2]，存在 x 2 ∈[﹣1，1]，使得 f（x 1 ）≥g（x 2 ），则实数 m 的取值范围为

　﹣

　 ． 【解答】解：对任意的 x 1 ∈[1，2]，存在 x 2 ∈[﹣1，1]， 使得 f（x 1 ）≥g（x 2 ），等价于 f（x）

　min ≥g（x）

　min ， 令 f′（x）＝2﹣ ＝0，解得 x＝1，且当 x＞1 时，f′（x）＞0， 则 f（x）在[1，2]上单调递增，所以 f（x）

　min ＝f（1）＝2+1+1＝4， 又 g（x）在[﹣1，1]上单调递减，所以 g（x）

　max ＝g（1）＝ ﹣m， 则 4≥ ﹣m，解得 m≥﹣ ， 故答案为[﹣ ，+∞）． 【知识点】利用导数研究函数的最值

　三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。

　解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

　17.求下列函数的导数． （1）y＝3x 2 +xcosx； （2）f（x）＝ ． 【解答】（1）f′（x）＝6x+cos x﹣xsin x； （2）∵

　∴ ． 【知识点】导数的运算

　18.已知 f（x）＝2xlnx+x 2 +ax+3． （1）当 a＝1 时，求曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线方程； （2）若存在 ，使得 f（x 0 ）≥0 成立，求 a 的取值范围． 【解答】解：f"（x）＝2（lnx+1）+2x+a． （1）当 a＝1 时，f（x）＝2xlnx+x 2 +x+3，f"（x）＝2（lnx+1）+2x+1， 所以 f（1）＝5，f"（1）＝5， 所以曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线方程为 y﹣5＝5（x﹣1），即 y＝5x．

　（2）存在 ，使得 f（x 0 ）≥0 成立， 等价于不等式 在 有解． 设 ，则 ， 当 时，h"（x）＞0，h（x）为增函数；当 1＜x＜e 时，h"（x）＜0，h（x）为减函数． 又 ， ，故 ， 所以当 时， ， 所以 ，即 a 的取值范围为 ． 【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程

　19.已知函数 f（x）＝|2x﹣a|． （1）当 a＝2，求不等式 f（x）+|x|≤6 的解集； （2）设 f（x）+|x﹣1|+3x≤0 对 x∈[﹣2，﹣1]恒成立，求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a＝2 时，f（x）+|x|≤6，即|2x﹣2|+|x|≤6， 当 x≤0 时，原不等式化为 2﹣2x﹣x≤6，得 ，即 ； 当 0＜x≤1 时，原不等式化为 2﹣2x+x≤6，即 x≥﹣4，即 0＜x≤1； 当 x＞1 时，原不等式化为 2x﹣2+x≤6，得 ，即 ． 综上，原不等式的解集为 ． （2）因为 x∈[﹣2，﹣1]，所以 f（x）+|x﹣1|+3x≤0，可化为|2x﹣a|≤﹣2x﹣1， 所以 2x+1≤2x﹣a≤﹣2x﹣1，即 4x+1≤a≤﹣1 对 x∈[﹣2，﹣1]恒成立， 则﹣3≤a≤﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣3，﹣1]． 【知识点】利用导数研究函数的最值、绝对值不等式的解法

　20.已知函数 f（x）＝（x+1）e x +（a﹣1）x，其中 a∈R． （1）当 a＝1 时，求 f（x）的最小值； （2）若 g（x）＝f（x）﹣e x 在 R 上单调递增，则当 x＞0 时，求证：

　【解答】解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝（x+1）e x ∴f"（x）＝（x+2）e x ， ∴当 x＜﹣2 时 f"（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减； 当 x＞﹣2 时 f"（x）＞0，f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增． ∴ ． （2）证明：∵g（x）＝f（x）﹣e x ＝xe x +（a﹣1）x，

　∴g"（x）＝（x+1）e x +a﹣1≥0 恒成立， ∴a≥1﹣（x+1）e x 恒成立． 则由（1）可得：

　． 又∵x＞0， ∴f（x）＝（x+1）e x +（a﹣1）x ． 【知识点】利用导数研究函数的最值

　21.已知函数 f（x）＝ ﹣4x+1． （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 x∈[﹣2，5]时，求函数 f（x）的最大值和最小值． 【解答】解：（1）f"（x）＝（x﹣4）（x+1）， 函数 f（x）单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（4，+∞）， 函数 f（x）单调递减区间是（﹣1，4）； （2）当 x∈[﹣2，﹣1]时，f"（x）＞0，当 x∈[﹣1，4]时，f"（x）＜0，当 x∈[4，5]时，f"（x）＞0， 所以 ， ， ， ， 当 x＝﹣1 时，函数 f（x）为 ，当 x＝4 时，函数 f（x）的最小值为 ． 【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性

　22.已知函数 f（x）＝lnx﹣ae x +1（a∈R）． （1）当 a＝1 时，讨论 f（x）极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝lnx﹣e x +1（x＞0），则 f′（x）＝ ﹣e x ， 显然 f′（x）在（0，+∞）上单调递减，又 f′（ ）＝2﹣ ＞0，f′（1）＝1﹣e＜0， 所以 f′（x）在（ ，1）上存在唯一零点 x 0 ， 当 x∈（0，x 0 ）时，f′（x）＞0，当 x∈（x 0 ，+∞）时，f′（x）＜0， 所以 x 0 是 f（x）的极大值点，且是唯一极值点； （2）令 f（x）＝0，a＝ ，令 y＝a，g（x）＝ ，则 y＝a 与 g（x）的图象在（0，+∞）上有 2 个交点， g′（x）＝ （x＞0），令 h（x）＝ ，则 h′（x）＝﹣ ﹣ ＜0， 所以 h（x）在（0，+∞）上单调递减，而 h（1）＝0， 故当 x∈（0，1）时，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，g（x）单调递增，

　当 x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，g（x）单调递减， 故 g（x）

　max ＝g（1）＝ ， 又 g（ ）＝0，当 x＞1 时，g（x）＞0，作出图象如图：

　由图可得：0＜a＜ ， 故 a 的取值范围是（0， ）． 【知识点】利用导数研究函数的极值、函数的零点与方程根的关系