椭圆教案讲义含练习解析

　 椭圆 教案讲义 含练习解析

　知识要点分析：

　（一）椭圆的定义 平面内与两个定点为 F ，F 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。特别地，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无轨迹。

　（二）椭圆的标准方程及几何性质 1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

　中心在原点，焦点在轴上 中心在原点，焦点在轴上 标准方程

　 参数方程 为参数）

　为参数）

　图形

　 顶点

　 对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为

　焦点

　 焦距

　离心率 （离心率越大，椭圆越扁）

　1 2 2 1 FF2 1 FF1 2 2 1 FFx y) 0 ( 12222    b abyax) 0 ( 12222    b abxay(sincosb ya x(sincosa yb x) , 0 ( ), , 0 () 0 , ( ), 0 , (2 12 1b B b Ba A a A) , 0 ( ), , 0 () 0 , ( ), 0 , (2 12 1a B a Bb A b Ax y b 2 a 2) 0 , ( ), 0 , (2 1c F c F  ) , 0 ( ), , 0 (2 1c F c F ) 0 ( 2 | |2 1  c c F F2 2 2b a c  ) 1 0 (    eace

　 准线

　 焦准距

　说明：方程中的两个参数 a 与 b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F ，F 的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a，b，c 都大于零，其中a 最大且 a =b +c 2、椭圆焦点三角形：设 P 为椭圆 上任意一点，F ，F 为焦点且∠F PF ＝ ，则△PF F 为焦点三角形，S＝b tan。

　3、方程 表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且 A，B，C 同号，A≠B。A＞B 时，焦点在 y 轴上，A＜B 时，焦点在 x轴上。

　4、弦长公式：x ，x 分别为弦 PQ 的横坐标，弦 PQ 所在直线方程为 y=kx+b，代入椭圆方程整理得 Ax2 +Bx+C=0，则＝，若 y ，y 分别为弦 PQ 的纵坐标，则 ＝， 5、直线与椭圆的位置关系：设直线 l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆 （a﹥b﹥0），组成方程组，消去 y（或 x）利用判别式△的符号来确定。

　若△>0 直线与椭圆有两个交点， 若△=0 直线与椭圆有一个交点， 若△<0 直线与椭圆没有交点。

　6、点 P 和椭圆 （a﹥b﹥0）的关系：

　（1）点 P（x ，y ）在椭圆外 >1， （2）点 P（x ，y ）在椭圆上 ＝1， （3）点 P（x ，y ）在椭圆内 <1 cax2 cay2 cbccap2 2  1 22 2 212222 byax12 1 21 2222 2Ax By C  1 2PQ2 121 x x k  1 2PQ2 1211 y yk 12222 byax12222 byax0 0220220byax0 0220220byax0 0220220byax

　 【典型例题】

　1、已知点 P（3，4）是椭圆 （a﹥b﹥0）上的一点，两个焦点为 F ，F ，若 PF ⊥PF ，试求：

　（1）椭圆的方程 （2）△PF F 的面积 ：

　解析：（1）解法一：令 ， ，则 。

　， ， 即 ，解得 ， 椭圆方程为 ， 点 在椭圆上， ， 解得 或

　又 ， （舍去）， 故所求椭圆方程为 。

　解法二：

　， 为直角三角形，

　又 ， ， 椭圆方程为 （以下同解法一）

　（2）解法一：P 点纵坐标的值即为 边上的高， 。

　解法二：由椭圆定义知：

　① 又

　 ② ① ②得 ，

　反思：要确定椭圆的标准方程，即确定 、 的值，由于，故只需求出 、 、 中的任意两个量即可。本例中利用 的条件或使用斜率或借助平面几何知识均可求出 。对于求 的面积，解法一利用了第一定义和勾股12222 byax1 2 1 21 2  0 ,1c F    0 ,2c F2 2 2c a b  2 1PF PF   12 1  PF PFk k13434  c c5  c 1252222ayax   4 , 3 P  12516 92 2a a452 a 52 ac a  52 a120 452 2 y x2 1PF PF  2 1 FPF  c F F OP  2 1215 4 32 2   OP  5  c 1252222ayax2 1 FF 20 4 10214212 12 1     F F SF PF5 62 1  PF PF22 12221F F PF PF  280 22 1  PF PF 20212 12 1  PF PF SF PFa b2 2 2c b a   a b c2 1PF PF 5  c2 1 FPF 

　 定理，以上解法都说明在处理解析几何问题时，既可以用代数的方法求值运算，又可以利用某些几何性质。

　2、椭圆 C：

　（a﹥b﹥0）的两个焦点为 F ，F ，点 P在椭圆 C 上，且 PF ⊥PF ，︱PF ︱= ，︱PF ︱=

　（1）求椭圆 C 的方程。

　（2）若直线 l 过圆 x2 +y 2 +4x－2y=0 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程. 解析：解法一：（1）因为点 P 在椭圆 C 上， 所以 ， 。

　在 中， ， 故椭圆的半焦距 ，从而 。

　所以椭圆 C 的方程为 。

　（2）设 A，B 的坐标分别为 ， 。

　已知圆的方程为 ，所以圆心M的坐标为 ， 从而可设直线 的方程为 ，代入椭圆 C 的方程得 。

　因为 A，B 关于点 M 对称，所以 ， 解得 ，所以直线 的方程为 ， 即 。

　解法二：（1）同解法一。

　（2）已知圆的方程为 ，所以圆心 M 的坐标为，设 A，B 的坐标分别为 ， 。由题意知：且 ，

　① 。

　② 由①－②得 。

　 ③ 因为 A，B 关于点 M 对称， 12222 byax1 21 2 14321436 22 1   PF PF a 3  a2 1 FPF Rt 5 22122 2 1   PF PF F F5  c 42 2 2   c a b14 92 2 y x 1 1 , yx  2 2 ,yx    5 1 22 2    y x   1 , 2 l   1 2    x k y    0 27 36 36 18 36 9 42 2 2 2       k k x k k x k29 49 182222 1  kk k x x98 k l   1 298   x y0 25 9 8    y x    5 1 22 2    y x  1 , 2   1 1 , yx  2 2 ,yx2 1x x 14 92121 y x14 92222 y x     04 92 1 2 1 2 1 2 1   y y y y x x x x

　 所以 ， 。代入③得 ， 即直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ， 即 。

　反思：

　（1）利用椭圆的定义求 及已知的条件求 从而求出椭圆方程。

　（2）解法一：利用解析几何的基本思想——用代数方法解决几何问题，先求出圆心坐标从而求出 的值。

　解法二：利用点差法求出 的值，从而求出直线 的方程。

　3、已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线的方程. 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 . 解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 .代入椭圆方程，并整理得 . 由韦达定理得 . ∵ 是弦中点，∴ .故得 . 所以所求直线方程为 . 分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、的方程组，从而求斜率：

　. 解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得 42 1   x x 22 1  y y982 12 1x xy yl98l  1 298   x y0 25 9 8    y xa ck1 21 2x xy ylk

　①－②得 .⑤ 将③、④代入⑤得 ，即直线的斜率为 . 所求直线方程为 . ：

　注：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦的中点轨迹. （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率. （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理的应用”及“点差法”. 4、已知圆 C 1 的方程为 ，椭圆 C 2 的方程为， C 2 的离心率为 ，如果 C 1 与 C 2 相交于 A 、 B 两点，且线段 AB 恰为圆 C 1 的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C 2 的方程。

　【解析】由

　   3201 22 2    y x 12222 byax  a b   022. , 2 ,22,222 2 2 2c b c aace     得

　 设椭圆方程为

　设

　 又

　两式相减，得

　 又

　所以直线 AB 的方程为

　即

　将

　由 。

　得 ，解得

　故所求椭圆 的方程为

　 5、过点（1，0）的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆 C 相交于 A 、 B 两点，直线 y = x 过线段 AB的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，. 122222 bybx). 1 , 2 ( ). , ( ). , (2 2 1 1由圆心为 y x B y x A. 2 , 42 1 2 1     y y x x, 12, 12222222221221   bybxbybx. 022222122221by ybx x, 0 ) )( ( 2 ) )( (2 1 2 1 2 1 2 1      y y y y x x x x. 1 . 2 . 42 12 12 1 2 1    x xy yy y x x 得1 ( 2) y x    3    x y得 代入 , 1232222    bybxx y. 0 2 18 12 32 2    b x x. 0 72 24 .22     b C AB 相交 与椭圆 直线 320x x 4 ) x x ( 2 x x 2 B A2 122 1 2 1     320372 b 2422 . 82 b2C. 18 162 2 y x2221

　 试求直线 l 与椭圆 C 的方程.

　【解析】解法一：由 e = ,得 ,从而 a2 =2 b 2 , c = b . 设椭圆方程为 x2 +2 y 2 =2 b 2 ， A （ x1 , y 1 ）， B （ x 2 , y 2 ）在椭圆上. 则 x 12 +2 y12 =2 b 2 , x22 +2 y22 =2 b 2 ,两式相减得， （ x 12 － x22 ）+2（ y12 － y22 ）=0, 设 AB 中点为（ x 0 , y 0 ）,则 k AB =－ , 又（ x 0 , y 0 ）在直线 y = x 上， y 0 = x 0 , 于是－ =－1, k AB =－1, 设 l 的方程为 y =－ x +1. 右焦点（ b ,0）关于 l 的对称点设为（ x ′, y ′）,

　由点（1,1－ b ）在椭圆上，得 1+2（1－ b ）2 =2 b 2 , b 2 =. ∴所求椭圆 C 的方程为 =1, l 的方程为 y =－ x +1. 解法二：由 e = ,从而 a2 =2 b 2 , c = b . 22ac2122 2ab a.) ( 22 12 12 12 1y yx xx xy y 002yx2121002yx      b yxb x yb xy11

　12 21解得 则89,1692 a2291698yx21,2222 2ab aac得

　 设椭圆 C 的方程为 x2 +2 y 2 =2 b 2 , l的方程为 y = k （ x －1）, 将 l 的方程代入 C 的方程，得（1+2 k2 ）

　x 2 －4 k 2 x +2 k 2 －2 b 2 =0, 则 x 1 + x 2 = , y 1 + y 2 = k （ x 1 －1）+ k （ x 2 －1）= k （ x 1 + x 2 ）－2 k =－ . 直线 l ：

　y = x 过 AB 的中点（ ）,则 , 解得 k =0，或 k =－1. 若 k =0,则 l 的方程为 y =0,焦点 F （ c ,0）关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k =0 舍去，从而 k =－1，直线 l 的方程为 y =－（ x －1）,即 y =－ x +1,以下同解法一. 解法三：设椭圆方程为

　直线不平行于 y 轴，否则 AB 中点在 x 轴上与直线 中点矛盾。

　故可设直线

　 ，

　 ， ， ，

　， ， 222 14kk22 12kk212,22 1 2 1y y x x  2222 12212 1 kkkk ① ) 0 b a ( 1byax2222   AB x y 过21② 的方程为 ) 1 x ( k y l  整理得：

　②代入①消y ③ 0 b a k a x a k 2 x ) b a k (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    ) ( ) (2 2 1 1y x B y x A ， ， 设2 2 22 22 12b a ka kx x  知：代入上式得：

　又 k x x k y y 2 ) (2 1 2 1   21 22 1x xkk21222 22 2 2  a kb a kk k2122   kabk k22 e 又1 2 2) ( 2 2222 222         eac aabk x y l    1 的方程为 直线

　 ， ，

　， ， ， ， ， 则 ， ， ， ，

　所以所求的椭圆 C 的方程为：

　即：

　 本讲涉及的数学思想、方法

　1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程构成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

　2 22b a  此时 0 b 2 2 x 4 x 32 2    方程③化为 0 ) 1 3 ( 8 ) 1 ( 24 162 2       b b33 b ④ 的方程可写成：

　椭圆2 2 2b 2 y 2 x C  2 2 2 2b b a c    又) 0 ( ， 右焦点 b F  ) (0 0y x l F ， 的对称点 关于直线 设点b y xb x yb xy    1 121210 00 000，在椭圆上，代入④得：

　， 又点 ) b 1 1 ( 22 ) 1 ( 2 1 b b   3343  b1692 b892 a1169892 2 y x19y 169x 82 2 