[统计与统计实用案例x] 统计与统计案例的思维导图

统计与统计案例

第一节 随机抽样

一、基础知识

1． 简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样

( n≤ N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等， 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．

(2)常用方法：抽签法和随机数法．

2． 分层抽样

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

3． 系统抽样

定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．

(2)系统抽样的步骤

假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本．

①先将总体的 N 个个体编号；

N N

②确定分段间隔 k，对编号进行分段．当 n (n 是样本容量 )是整数时，取 k＝ n；

当总体中的个体数不能被样本容量整除时， 可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个

体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行 .这时在整个抽样过程中每

个个体被抽取的可能性仍然相等 .

③在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l( l≤ k)；

④按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l ＋ k，再加 k 得到第 3 个个体编号 l ＋ 2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

二、常用结论

(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．

(2)

系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔

k 的整数倍．

(3)

分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．

(4)

三种抽样方法的特点、联系及适用范围

类别

共同点

各自特点

联系

适用范围

简单随

从总体中逐个抽取

总体个数

机抽样

较少

①抽样过程中每

将总体均分成几部分，按

在起始部分取样

系统

个个体被抽到的

总 体 个 数

预先定出的规则在各部

时，采用简单随

抽样

可能性相等；

分中抽取

机抽样

较多

②每次抽出个体

总 体 由 差

后不再将它放回，

各层抽样时，采

分层

即不放回抽样

将总体分成几层，分层进

异 明 显 的

用简单随机抽样

抽样

行抽取

或系统抽样

几 部 分 组

成

考点一 简单随机抽样

[ 典例 ] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有 ( )

①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本；

②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意

拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验；

④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．

A ． 0 个 B ． 1 个

C．2 个 D ．3 个

[解析 ] ①不是简单随机抽样， 因为被抽取样本的总体的个数是无限的， 而不是有限的；②不是简单随机抽样， 因为它是有放回抽样； ③明显为简单随机抽样； ④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．

[答案 ] B

[ 解题技法 ] 应用简单随机抽样应注意的问题

一个抽 能否用抽 法，关 看两点：一是抽 是否方便；二是号 是否易 匀．一般地，当 体容量和 本容量都 小 可用抽 法．

在使用随机数法 ，如遇到三位数或四位数，可从 的随机数表中的某行某列的

数字 起， 每三个或四个作 一个 位， 自左向右 取， 有超 体号 或出 重复号 的数字舍去．

[



]

1． 体由 号 01,02，?， 19,20 的 20 个个体 成，利用下面的随机数表 取 5 个个

体， 取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次 取两个数字，

出来的第



5 个个体的 号



(



)

7816



6572



0802



6314



0702



4369



9728



0198

3204



9234



4935



8200



3623



4869



6938



7481

A.08

B ． 07

C．02

D ．01

解析：D

由随机数法的随机抽 的 程可知 出的

5 个个体是 08,02,14,07,01，所

以第 5 个个体的 号是 01.

2．利用 随机抽 ，从

n 个个体中抽取一个容量

10 的 本．若第二次抽取 ，

余

下的每个个体被抽到的概率

1， 在整个抽 程中，每个个体被抽到的概率 (

)

3

1

1

A. 4

B.3

5

10

C.14

D.27

解析： C

根据 意，

9 ＝

1，

n－ 1

3

解得 n＝ 28.

故在整个抽 程中每个个体被抽到的概率

10＝ 5

28 14.

考点二



系 抽

[ 典例 ]



(1) 某校 了解



1 000 名高一新生的身体生 状况，用系 抽 法



(按等距的

) 抽取 40 名同学 行 ， 将学生从



1～ 1 000 行 号， 已知第



18 抽取的号



443，

第一 用 随机抽 抽取的号



(



)

A ． 16



B ． 17

C．18



D ．19

(2)中央 台 了解 众 某 目的意 ，准 从



502 名 众中抽取



10%

行座 ， 用系 抽 的方法完成 一抽 ，



在 行分 ，需剔除



________个个体，抽

隔 ________．

[解析 ] (1)因 从 1 000

名学生中抽取一个容量

40 的 本，所以系 抽 的分段

1 000

隔

40 ＝ 25，

第一 随机抽取的号

x，

抽取的第 18 号

x＋ 17× 25＝443，所以 x＝ 18.

(2)把 502 名 众平均分成

50 ，由于 502 除以 50 的商是 10，余数是 2，所以每 有

10 名 众， 剩 2 名 众， 采用系 抽 的方法抽 ，

先用 随机抽 的方法从

502

名 众中抽取 2 名 众， 2 名 众不参加座； 再将剩下的

500 名 众 号 1,2,3，? ，

500，并均匀分成

500＝ 10 个个体．所以需剔除

2 个个体，抽 隔

10.

50 段，每段含 50

[答案 ] (1)C

(2)2 10

[ 透 清 ]

1.若本例 (1)的条件不 ， 号落入区

[501,750] 的人数 ________．

解析：从 1 000 名学生中抽取一个容量

40 的 本， 系 抽 分 40 ，每 1 000＝ 25

40

个号 ，每 抽取一个，从

501 到 750 恰好是第

21 到第 30 ，共抽取

10 人．

答案： 10

2． (2018 ·昌摸底 研南

)某校高三 (2) 班 有

64 名学生，随机 号

0,1,2，?， 63，依

号 序平均分成 8 ， 号依次

1,2,3，?， 8. 用系 抽 方法抽取一个容量

8 的

本，若在第 1 中随机抽取的号

5， 在第

6 中抽取的号 ________．

解析： 由 知分 隔

64＝ 8，又第

1 中抽取的号 5，所以第 6 中抽取的号

8

5× 8＋ 5＝ 45.

答案： 45

[ 解 技法 ] 系 抽 中所抽取 号的特点

系 抽 又称等距抽 ， 所以依次抽取的 本 的号 就是一个等差数列， 首 就是

1 所抽取 本的号 ， 公差 隔数， 根据等差数列的通 公式就可以确定每一 内所要抽取的 本号 ．

[提醒 ] 系 抽 ，如果 体中的个数不能被 本容量整除 ，可以先用 随机抽

从 体中剔除几个个体，然后再按系 抽 行．

考点三 分 抽

[ 典例 ] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共

有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱 喜爱 一般 不喜欢

4 800 7 200 6 400 1 600

电视台为了了解观众的具体想法和意见， 打算从中抽取 100 人进行详细的调查， 为此要

进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为 ( )

A ． 25,25,25,25 B ． 48,72,64,16

C．20,40,30,10

D ．24,36,32,8

[ 解析 ]

法一： 因为抽样比为

100

＝

1

，所以每类人中应抽取的人数分别为

20 000

200

1 ＝ 24,7 200×

1 ＝36， 6 400× 1

＝32,1 600

× 1 ＝ 8.

4 800× 200

200

200

200

法二： 最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为

4 800∶ 7 200∶ 6 400∶ 1 600＝ 6∶9∶ 8∶

2，

所以每类人中应抽取的人数分别为

6

×

100 ＝ 24，

9

× 100

＝ 36

，

6＋ 9＋ 8＋ 2

6＋ 9＋8＋ 2

8

× 100＝ 32，

2

× 100＝ 8.

6＋ 9＋ 8＋ 2

6＋ 9＋8＋ 2

[答案 ]

D

[ 解题技法 ] 分层抽样问题的类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

样本容量

(3) 分 层 抽 样 的 计 算 应 根 据 抽 样 比 构 造 方 程 求 解 ， 其 中 “ 抽 样 比 ＝ ＝ 总体容量

各层样本数量

各层个体数量 ”．

[ 题组训练 ]

1．(2019 ·西五校联考山 )某校为了解学生的学习情况， 采用分层抽样的方法从高一 1 000

人、高二 1 200 人、高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为

30，则 n

＝()

A ． 860

B ． 720

C．1 020

D ．1 040

解析： 选 D

由已知条件知抽样比为

30 ＝

1 ，从而

81

＝

1

，解得 n＝

1 200

40

1 000＋1 200＋ n

40

1 040，故选 D.

2.(2018 广·州高中 合 )已知某地区中小学学生人数如 所示．

了解 区学生参加某 社会 践活 的意向， 采用分 抽 的方法来 行 ．若高中需抽取 20 名学生， 小学与初中共需抽取的学生人数

________．

解析： 小学与初中共需抽取的学生人数

x，依 意可得

1 200

＝

20 ，

2 700＋ 2 400＋ 1 200

x＋ 20

解得 x＝ 85.

答案： 85

[ 跟踪 ]

1．从 2 019 名学生中 取 50 名学生参加全国数学 ，若采用以下方法 取：先用

随机抽 法从 2 019 名学生中剔除

19 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系 抽 的方法抽

取， 每名学生入 的概率 ()

A ．不全相等

B ．均不相等

50

1

C．都相等，且 2 019

D ．都相等，且 40

解析：C 从 N 个个体中抽取

M 个个体， 每个个体被抽到的概率都等于

M，故每

N

名学生入 的概率都相等，且

50

2 019.

2．福利彩票“双色球”中 球的号 可以从

01,02,03，?， 32,33

33

个两位号 中

取，小明利用如下所示的随机数表 取 色球的

6 个号 ， 取方法是从第

1 行第 9 列的

数字开始，从左到右依次 取数据， 第四个被 中的 色球的号

(

)

81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85

06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49

A.12

B ． 33

C．06

D ．16

解析：



C



被 中的 色球的号 依次



17,12,33,06,32,22，所以第四个被 中的

色球的号



06.

3



52



4

知 5 号、 18 号、 44 号同学在 本中，那么 本中 有一个同学的座号是



(



)

A ． 23



B ． 27

C．31



D ．33

解析：



C



分段 隔



52＝ 13，故 本中 有一个同学的座号



18＋ 13＝ 31.

4

4．某工厂在



12 月份共生 了



3 600



双皮靴，在出厂前要 批 品的 量，决定采

用分 抽 的方法 行抽取，若从一、二、三 抽取的 品数分



a， b， c，且



a， b，

c 构成等差数列， 第二 生 的 品数



(



)

A ． 800



双



B ． 1 000



双

C．1 200



双



D ．1 500



双

解析：



C



因



a，b， c



成等差数列，所以



2b＝ a＋ c，即第二 抽取的 品数占

抽 品 数的三分之一，根据分 抽 的性 可知，第二 生 的 品数占



12 月份生

数的三分之一，即



1 200



双皮靴．

5．(2018



·宁摸底 考南



)已知某地区中小学生人数和近 情况分 如 甲和 乙所示．

了了解 地区中小学生的近 形成原因，用分 抽 的方法抽取

本容量和抽取的高中生近 人数分 ( )



2%的学生 行 ，

A ． 100,20

C．200,10



B ． 200,20

D ．100,10

解析：



B



由 甲可知学生 人数是



10 000 ， 本容量



10 000×2%＝ 200，抽取

的高中生人数是



2 000× 2%＝ 40，由 乙可知高中生的近 率



50% ，所以抽取高中生的

近 人数



40× 50%＝ 20，故



B.

6．一个 体中有 100 个个体，随机 号 0,1,2，?， 99.依 号 序平均分成 10 个小

， 号依次 1,2,3 ，?，10. 用系 抽 方法抽取一个容量 10 的 本， 如果在第一

随机抽取的号 m，那么在第 k 中抽取的号 个位数字与 m＋ k 的个位数字相同．若 m

＝6， 在第



7 中抽取的号 是



(



)

A ． 63



B ． 64

C．65



D ．66

解析：



A



若 m＝ 6， 在第



7 中抽取的号 个位数字与



13 的个位数字相同， 而第

7 中的 号依次



60,61,62,63， ? ，69，故在第



7 中抽取的号 是



63.

7．采用系 抽 方法从



960 人中抽取



32 人做 卷 ， 此将他 随机 号



1,2，?，

960，分 后在第一 采用 随机抽 的方法抽到的号



9.抽到的



32 人中， 号落入区

[1,450] 的人做 卷



A， 号落入区



(450,750] 的人做 卷



B，其余的人做 卷



C. 抽到的

人中，做 卷



B 的人数



(



)

A ． 7

B ． 9

C．10

D ．15

解析： C 960÷32＝30，故由 意可得抽到的号 构成以

9 首 ，以 30 公差的

等差数列，其通 公式

an＝ 9＋ 30(n－ 1) ＝30n－ 21.由

450＜ 30n－ 21≤ 750，解得 15.7＜

n≤ 25.7.又 n 正整数，所以

16≤ n≤ 25，故做 卷 B 的人数

25－ 16＋ 1＝10.故 C.

8．某企 三月中旬生

A，B， C 三种 品共

3 000 件，根据分 抽 的 果，企

制作了如下的 表格：

品

A

B

C

品数量 (件 )

1 300

本容量 (件 )

130

由于不小心，表格中

A，C 品的有关数据已被 染看不清楚，

得 A 品的

本容量比 C 品的 本容量多

10，根据以上信息，可得

C 的 品数量是 ________件．

解析： 本容量

x，

x

× 1 300＝ 130，∴ x＝ 300.

3 000

∴ A 品和 C 品在 本中共有

300－130＝ 170(件 )．

C 品的 本容量

y， y＋y＋ 10＝ 170，∴ y＝ 80.

C 品的数量 3 000× 80＝ 800(件 )．

300

答案 ：800

9．某企 三个分厂生 同一种 子 品，三个分厂 量分布如 所示， 在用分 抽

方法从三个分厂生 的 品中共抽取 100 件做使用寿命的 ， 第一分厂 抽取的件数 ________；由所得 品的 果 算出一、 二、三分厂取出的 品的使用寿命平均

分 1 020 小 、 980 小 、 1 030 小 ， 估 个企 所生 的 品的平均使用寿命

________小 ．

解析： 第一分厂 抽取的件数 100× 50%＝ 50； 品的平均使用寿命 1 020×0.5

980× 0.2＋ 1 030×0.3＝ 1 015.

答案： 50



1 015

10．将参加冬季越野跑的



600 名 手 号 ：



001,002，?， 600，采用系 抽 方法抽

取一个容量



50 的 本，把 号分



50 后，在第一 的



001 到



012 12



个 号中随机

抽得的号



004，



600 名 手穿着三种 色的衣服，从



001 到



301 穿 色衣服，从



302

到 496 穿白色衣服，从 497 到 600 穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为

________ ．

解析： 由题意及系统抽样的定义可知，将这

600 名学生按编号依次分成 50

组，每一组

各有 12 名学生，第 k(k∈ N * )组抽中的号码是

4＋ 12(k－ 1)．令

302≤4＋ 12(k－ 1)≤ 496，得

5

≤ k≤ 42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为

42－ 25＝ 17(人 )．

25

6

答案 ：17

11．某初级中学共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级

初二年级

初三年级

女生

373

x

y

男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取

1 名，抽到初二年级女生的概率是

0.19.

(1)求 x 的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取

48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？

x

解： (1)∵ ＝ 0.19，∴ x＝ 380.

2 000

(2)初三年级人数为 y＋ z＝2 000－(373＋ 377＋ 380＋ 370)＝ 500，现用分层抽样的方法在

全校抽取

48 名学生，应在初三年级抽取的人数为

48

×500＝ 12(名 )．

2 000