【交通流密度与交通延误调查x】

第八章?交通流理论

一、?授课时间：8?课时

二、?授课内容：

1、 交通流的统计分布特征

2、 排队论及其应用

3、 跟驰理论

4、 流体力学模拟理论

三、?授课要求：掌握泊松分布理论、二项分布理论在交通流分析中

的应用；熟悉?M/M/1，M/M/n?系统理论及其应用；了解跟驰

理论及流体力学模拟理论。

四、?授课步骤：

第一节 交通流的统计分布特性

一、泊松分布

1、?基本公式

P(x)

m?xe?m

x!

式中：P（x）——在计数周期?t?内到达?x?车辆的概率；

t——每个计数周期的持续时间，S;

入——单位时间平均到达率，veh/s;

m——在?t?时间间隔内平均到达的车辆数，m=入?t

e——自然对数的底，取值为?2．718?28。

图?8-5?泊松分布

2、递推公式

P(x)

m

x

p(x1)(x1),?p(0)e?m

3、累计分布

P(?

P(x)?

P(x)?

i?0

x?1

i?0

mi?e?m

i

mi?e?m

i!

,?P(x)1p(x)

,?P(x)1P(x)

P(

P(xiy)?

i?x

mi?e?m

i!

4、均值与方差

E(x)

E(x)xp(x)m

?

D(x)xE(x)P(x)m

x?0

2

x?0

D(x)

E(x)

1

5．适用条件

适用于交通流量小，驾驶员随意选择车速，车辆到达是随机的，判据为：

二、二项分布

1．?基本公式

交通流为拥挤车流，观测周期?t?内到达?x?辆车的概率服从二项分布，公式为：

xP(x)Cn?p?x?(1p)n?x?(x0,1,2,...,?n)

x

式中：?

式中：?Cn

n!

x!(nx)!

——从?n?辆中取出?x?辆车的组合；

n——观测周期?t?内可能到达的最大车辆数，可根据最大流率求出?n。n?为正整数；

p——二项分布参数，p＜l，经常代表转向车流占整个车流的比例，%．

2．递推公式

P(x)

nx1?p

x?1p

p(x1)(x1)

P(x)Cni?pi?

P(x)Cni?pi?(1p)n?i?,?p(x)1p(x)

P(x)Cni?pi?(1p)n?i?,?p(x)1p(x)

p(xiy)Cni?pi?(1p)n?i

3．累积二项分布

x

i?0

x?1

i?0

y

i?x

4．均值与方差

E(x)np

D(x)np(1p)

5．适用条件

交通量大，拥挤车流，车辆自由行驶的机会减少，车流到达数在均值附近波动（适合交

叉口左转车到达，超速车辆数。）判据为：

D(x)

E(x)

1p1?。

三、计算示例

例?8-1?在平均交通量为?120?辆/h?的道路上，已知交通流到达服合泊松分布，求?30s?内无车到

达、有?1?辆、有?2?辆、有?3?辆、有四辆及电辆以上车通过的概率。

解：已知观测周期?t=30s

Q

3600

?

120

3600

?

1

30

veh?/?s

m?t

1

30

301(veh)

x0



P(0)

m?xe?m

x!



?

m0e?m

0!



e?me?10.368

P(0)

P(0)?P(0)0.368

P(1)

m

x

P(x1)

m

1

1

1

x2

x3

P(2)

P(3)

m

x

m

x

P(x1)

P(x1)

m

2

m

3

P(1)0.184

P(2)0.061

x4

P(4)

m

4

P(3)0.015

P(x

P(x4)1P(4)1P(x)

4

x?0

1P(0)P(1)P(2)P(3)P(4)

10.3680.3680.1840.0610.015

0.004

例?8－2?设?60?辆汽车随机分布在?4km?长的道路上，求任意?400m?路段上有?4?辆车的概率及

4?辆以上车的概率。

解：400m?路段上平均到达车辆数为：

m

60

4000

4006(veh)

① x=4,即有?4?辆车的概率

P(4)

m?xe?m

x!

?

64?e?6

4!

0.135

② x>4?辆车的概率

P(x4)1P(4)

1P(0)P(1)P(2)P(3)P(4)

10.00250.0150.0450.090.135

0.7125

例?8－3?一交叉口．设置了专供左转的信号相，经研究指出：来车符合二项分布。每一周期

内平均到达?20?辆车，有?25?要的车辆左转但无右转。求：

①到达三辆车中有一辆左转的概率。

②某一周期不使用左转信号相的概率。

解；①已知：n＝3．x=1．P=0.25，代入式中?可求出到达三辆车中有一辆左转的概率

1P(1)C3?p1?(1p)3?1

1

3!

1!2!

(0.25)1?(10.25)3?10.422

②已知：n=20，x=0，p=0.25

0P(0)Cn?P?0?(1P)3?0

0

20!

0!20!

(0.25)0?(10.25)20?00.0032

第二节?交通流中排队理论

一、排对论的基本概念

1．“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务的，而“排队系统”既包括了等待服务的，

又包括了正在服务的车辆。

2．排队系统的三个组成部分

（1）输入过程?指各种类型的“顾客（车辆或行人）”按怎样的规律到来。

定长输入——顾客等时距到达。

泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。这种输入过程最容易处理，因而应

用最广泛。

爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。

（2）排队规则?指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：

损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。

等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。服

务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先权服务（如急救车、消防车）等多

种规则。

混合制——顾客到达时，若队长小于?L，就排入队伍；若队长等于?L，顾客就离去，

永不再来。

（3）服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。

每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。

服务时间的分布主要有如下几种：

定长分布——每一顾客的服务时间都相等。

负指数分布——即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。

爱尔朗分布——即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。

3?排队系统的主要数量指标?最重要的数量指标有三个：

（l）等待时间——从顾客到达时起到他开始接受服务的这段时间。

（2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。

（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平

的一种衡量。

二、单通道排队服务（M／M／1）系统

由于排队等待接受服务的通道只有单独一条，故称“单通道服务”系统。如图

设顾客随机单个到达，平均到达率为?λ，则两次到达之间的平均间隔为?1/λ。从单通

道接受服务后出来的输出率（即系统的服务率）为?μ，则平均服务时间为?1/μ。比率

ρ=λ/μ?叫做交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。如果?ρ＜1（即?λ＜μ＝并

且时间充分，每个状态将会循环出现。当?ρ≥1，每个状态是不稳定的，而排队的长度将会

变得越来越长，没有限制。因此，要保持稳定状态即确保单通道排队能够疏散的条件是

ρ＜1，即?λ＜μ。

在系统中没有车辆的概率：

P(0)1?

在系统中有?n?辆车的概率：

P(n)P?n?(1)n?P(0)

排队系统中车辆的平均数：

n

排队系统中车辆数的方差：

?

1?

2

?

?12

?

n?与?ρ?的关系可绘成图，从图中不难看出当交通强度?ρ?越过?0．8?时，平均排队长度

迅速增加，而系统状态的变动范围和频度增长更快，即不稳定因素迅速增长，服务水平迅速下

降。

a） b)

a）n?与?ρ?的关系图；b）a?与?ρ?的关系图

平均排队长度：

q

2

1?

n

排队系统中的平均消耗时间：

d

1

排队中的平均等待时间：

? 1

? 1

?

?

d

例?8—4?某高速公路人口处设有一收费站，车辆到达该站是随机的，单向车流量为?300?辆

/h，收费员平均每?10s?完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试估计在检查站上

排队系统中的平均车辆数。平均排队长度、排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均

等待时间。

解：这是一个?M／M／l?系统。由题意如

?300?pcu?/?h

1

10

pcu?/?s

3600

10

360?pcu?/?h

?

?

?

300

360

0.831

该系统是稳定的。

排队系统中车辆的平均数：

n

?

1?

?

?

?

300

360300

5?pcu

平均排队长度：

qn?50.834.15?pcu

排队系统中的平均消耗时间：

d

1

?

1

360300

360060s?/?pcu

排队中的平均等待时间：

? 300

? 300

? 360(360300)

?

360050s?/?pcu

三、条通道排队服务（M／M／N?系统

在这种排队系统中，服务通道有?N?条，所以叫“多通道服务”系统。根据排队方式的

不同，又可分为：

单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况。排队中头一辆车可视

哪个通道有空就到哪里去接受服务，如图所示。

单路排队多通道服务图 多路排队多通道服务

多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队，每个通道只为其相对应的一队车辆服

务，车辆不能随意换队。如图所示，这种情况相当于?N?个单通道服务系统。

对于多通道服务系统，保持稳定状态的条件，不是?ρ＜1，而是?ρ/N＜1。其中?ρ?为

各通道平均值。现考虑各通道?ρ?值相等的情况则?ρ=ρ。若令人为进入系统中的平均到车

率，则对于单路排队多通道服务系统，存在下列关系式：

系统中没有车辆的概率：

?n?0?n! ?1

n?0?n! ?

1 ?

N!

?

?

N ?

?

?



?N1?1



n



?

?

?

?

1





N



N?

?



N1

n?0



n

n!



?

1

N

N!(1n?)

系统中有?n?辆车的概率：

P(n)

n

n!

P(0)

P(n) n

N!N?n?N

P(0)

排队系统中的平均车辆数：

?

P(0)

?

?



?

?



?

N

(N1)!(N)2





P(0)N1

N!N

?

?

?

1

?

?

1

2

?

?

N?

平均排队长度：

N!N

N!N

?

n



?

?

N1

P(0)

1

?

?

1

2

?

?

N?

排队系统中的平均消耗时间：

?

P(0)

N

(N1)!(N)



2



?



1

?



?



n

?

排队中的平均等待时间：

?

P(0)

N

(N1)!(N)



2



?



g

?

例?8－5?有一收费公路，高峰小时以?2400?辆／h?的车流量通过四个排队车道引向四个收

费口。平均每辆车办理收费的时间为?5s，服从负指数分布。试分别按单路排队和多路排队

的两种服务方式计算各相应的指标并比较之。

解：按多路排队计算

根据题意，有四路排队，即每个收费口有它各自的排队车道，而将到达的车流四等分，

于是：

24004

3600

?

1

6

(?pcu?/?s)

?

(?pcu?/?s)

5

?

?

?

5

6

1

即相当于四个单通道排队情况，由?M／M／l?系统的计算公式，得到：

16

16



?



?



5

1

?



1

6



5(?pcu)

g?n

5

6

54.17(?pcu)

d

1

?



1

5

1

?



1

6

30(s?/?pcu)

Wd

按单路排队计算，这时：

1

?

30525(s?/?pcu)

2400

3600

?

2

3

(?pcu?/?s)

?

(?pcu?/?s)

5

N4,



?

?

2

3

1



10

3

5

?

N

10

3

4



5

6



1

?

N

(N1)!(N)2



P(0)

2

2

3 51

5

321?4 ? ?



?

213

12

5?3

4



2



0.02133.3(?pcu)

ng?3.3

10

3

6.6(?pcu)

d

n

?

?

6.6

2

10.0(s?/?pcu)

3

服务指标

服务方式

服务指标

服务方式

多路排队

单路排队

（多-单）

/多?100%

多路排队

单路排队

（多-单）

/多?100%

系统中车辆数?n

5.0

6.6

-32.0

系统中消耗时

间?n

30.0

10.0

67.0

平均排队长度?q

4.17

3.3

21.0

平均排队时间

q

25.0

5.0

80.0

W

g

?

?

3.3

2

5(s?/?pcu)

3

两种服务方式相应指标对比由表可见，在服务通道数目相同时，单路排队优于多路排队。这在 d、w?两项指标的

两种服务方式相应指标对比

比较中尤为显著，单路排队比多路排队分别减少了?67 ％和?80％。因为多路排队多通道服

务表面上到达车流量被分散，但实际上受着排队车道与服务通道—一对应的束缚。如果某

一通道由于某种原因拖长了为某车服务的时间，显然就要增加在此通道后面排队车辆的等

待时间，甚至会出现邻近车道排队车辆后来居上的情形。而单路排队多通道服务就要灵活

得多，排在第一位的车辆没有被限制死非走某条通道不可，哪儿有空它就可以到哪儿去。

因此，就整个系统而言，疏散反而比多路排队要快。这一结论对道路上的收费系统、车辆

的等待装卸系统及其他方面的排队系统设计均具有指导意义。

第三节 跟驰理论

跟驰理论研究的一个主要目的是试图通过观察各个车辆逐一跟驰的方式来了解单车道交通

流的特性。这种特性的研究可用来描述交通流的稳定性，加速干扰以及干扰的传播；检验在高

速公路专用车道上运行的公共汽车车队的特性；检验管理技术和通信技术，以便预测短途车辆

对市区交通流的影响，使尾撞事故减到最低限度

一、车辆跟驰特性分析

跟驰理论就是研究这种运行状态车队的行驶特性：

非自由状态行驶的车队有以下三个特性：

1．制约性?在一队汽车中，驾驶员总不愿意落后，而是紧随前车前进。这就是“紧随要求”

。同时，后车的车速不能长时间的大于前车车速，只能在前车车速附近摆动，否则会发生碰撞。

这是“车速条件”。此外，前后车之间必须保持一个安全距离，在前车制动后，两车之间有足够

的距离，从而有足够的时间供后车驾驶员作出反应，采取制动措施。这是“间距条件”。

紧随要求、车速条件和间距条件构成了一队汽车跟驰行驶的制约性。即前车车速制约着后

车车速和两车间距。

2．延迟性 从跟驰车队的制约性可知，前车改变运行状态后，后车也要改变。但前后车运

行状态的改变不是同步的，后车运行状态的改变滞后于前车。因为驾驶员对前车运行状态的改

变要有一个反应过程，需要反应时间。假设反应时间为?T，那么前车在?t?时刻的动作，后车在

（t+T）时刻才能作出相应的动作。这就是延迟性。

3．传递性 由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第?2?辆车的运行状态，第?2?辆又制

约着第?3?辆，……，第?n?辆制约着第?n+1?辆。一旦第一辆车改变运行状态，它的效应将会一辆

接一辆地向后传递，直至车队的最后一辆。这就是传递性。而这种运行状态的传递又具有延迟

性。这种具有延迟性的向后传递的信息不是平滑连续的，而是像脉冲一样间断连续的。

二、线性跟驰模型的建立

跟驰模型是一种刺激一反应的表达式。

Xi?(t)——第?n?辆车在时刻?t?的位置；

S(t)——两车在时刻?t?的间距，S(t)＝Xn(t)－Xn+1(t)；

dl——后随车在反应时间?T?内行驶的距离，

d2——后随车在减速期间行驶的距离；

d3－－前导车在减速期间行驶的距离；

L——停车后的车头间距；

——第?n?辆车在时刻?t?的速度。

第四节?流体力学模拟理论

该理论运用流体力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程。通过

分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系。因此，该理论又可称为车

流波动理论。

一、车流连续性方程的建立

假设车流顺次通过断面Ⅰ和Ⅱ的时间间隔为?dt，两断面的间距为?dx，同时，车流在断面Ⅰ

的流入量为?q，密度为?k。车流在断面?Ⅱ的流出量为（q＋?dq），密度为（k-dk）。?dk?取负号

表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减少。

根据质量守恒定律：

流入量一流出量=数量上的变化

即：

化简得到：

又因为：q=kv

于是：

上式为交通连续方程，表示车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而增大。

二、车流中的波

1．基本方程 假设一直线路段被垂直线?S?分割为?A、B?两段。A?段的车流速度为?v1，

密度为?k1；B?段的车流速度为?v2，密度为?k2；S?处的速度为?vw，假定沿路线按照所画的箭

头?X?正方向运行，速度为正，反之为负，并且：v1?一在?A?区车辆的区间平均车速；

v2?一在?B?区车辆的区间平均车速。

瓶颈处的车流波图 两种密度的车流运行情况

则在时间?t?内横穿?S?交界线的车数?N?为：

N?v1vWk1t?v2vWk2t

?v1vWk1?v2vWk2

vW

v1k1v2k2

k1k2

令?A、B?两部分的车流量分别为?q1、q2，则根据定义可得：

q1k1v1,?q2k2v2

于是，

vW

q2q1

k2k1

当?q1＞q2，k1＜k2?时，vw?为负值。表明波的方向与原车流流向相反。此时在瓶颈过渡

段内的车辆即被迫后拥，开始排队，出现拥塞。有时?vw?可能为正值，这表明此时不致发生

排队现象，或者是已有的排队将开始消散。

若?A、B?两区车流量与交通密度大致相等，则可以写成：

q2q1?q

k2k1?k

因此可得传播小紊流的速度：

vW

?q

?k

?

dq

dk

如果我们采用线性的速度与密度关系式，即：

viv?f

viv?f1 i

k?j

?

?

?

?

?

?

如果再进一步，设：

?i

ki

k?j

则可以写出：

? , ?v1v?f?11v2v?f?1

? , ?

式中，η1?及?η2?是在界线?s?两侧的标准化密度。

将以上关系代人方程，得波速为：

vW

? ?k1v?f?11?k2v?f?12

? ?

k1k2

简化式为：

vWv?f?1?1?2?

上式说明，波速可用交通密度不连续线两侧的标准化密度表示。

三、车流波动理论的应用

例?8－7?车流在一条?6?车道的公路上畅通行驶，其速度为?v＝80km／h，路上有座?4?车道的

桥，每车道的通行能力为?1940?辆／h。高峰时车流量为?4200?辆／h（单向）。在过渡段的车速降

至?22?km／h?这样持续了?1.69h。然后车流量减到?1956?辆／h（单向）。试估计桥前的车辆排队长

度和阻塞时间。

解：

1．计算排队长度

（l）在能畅通行驶的车道里没有阻塞现象，其密度为：

k1

q1

v1

?

4200

80

53?pcu?/?km

(2) 在过渡段，由于该处只能通过?1940×2＝3800?辆／h，而现在却需要通过 4200?辆

／h，故出现拥挤，其密度为：

k2

q2

v2

?

3880

22

177?pcu?/?km

vW

q2q1

k2k1

?

38804200

17753

2.58km?/?h

表明此处出现迫使排队的反向波，其波速为?2.58?km／h

因距离为速度与时间的乘积，故此处的平均排队长度为：

L

01.692.581.69

2

2.18km

2，计算阻塞时间高峰过去后，排队即开始消散，便阻塞仍要持续一段时间。因此阻塞

时间应为排队形成时间（即高峰时间）与排队消散时间之和。

（l）排队消散时间?t′，已知高峰后的车流量?q3=?1956?辆／h＜3?880?辆／h，表明通行

能力已有富裕，排队已开始消散。

排队车辆数为：

?q1q21.69?420038801.69541pcu

疏散车辆数为：

q3q219563880?1924?pcu?/?h

则排队消散时间：

t

?q1q21.69

q3q2



?

541

1924



0.28h

（2）阻塞时间?t

tt?1.690.281.691.97h

复习思考题

1．交通流的泊松分布、二项分布和负指数分布的特点、参数及各自的适用条件是什么？

2．排队论的基本原理、主要参数（指标）计算及其在交通运政和汽车运输管理等方面的作用。

3．交通跟驰理论、流体力学模拟理论的依据、模型（方程）的意义及其作用各是什么？

思考作业题

1.某路段，交通量为?3600?辆/h，车辆到达符合泊松分布。求：（1）在?95%的置信度下，每?60s

的最多来车数。（2）在?1s，2s，3s?时间内无车的概率。

▲2.有?60?辆车随意分布在?5km?长的道路上，对其中任意?500m?长的一段，试求：（1）有?4?辆车

的概率；（2）有大于?4?辆车概率

▲3．某路单向交通量为?120veh/h，车辆到达符合泊极分布。求在?30s?内：

①无车到达的概率

②小于?3?辆车到达的概率

③大干等于?4?辆车到达的概率

4．某交叉口?10?年共发生?50?次交通事故，问一年发生?5?次事故的可能性是多少？一年发生?5

次交通事故的情况平均几年出现一次？

▲5．据航测知，在?6km?长的一段道路上，随意分布?60?辆车，求任意?600m?长的道路上有?5?辆

车的概率？

▲6．某交叉口的一个进口．乘车符合二项分布．每周期平均到达 20?辆车，其中有 4?辆主左

转．求某一周期内无左转车的概率？

▲7．某?T?形交叉?D，每周期到达车辆中有?2/3?左转，1/3?右转，求到达?4?辆车时．有两辆车左

转的概率？

▲8．某检查站，查得有?25％的骑自行车违章，问?5?人骑车人中有?2?人违章的概率是多少？

▲9．若某路车流量为?200veh／h，设在该路上的检查站，平均每?6s?处理一辆车，符合负指数分

布，试计算。

①?检查人空闲的概率？

②?系统中的平均车辆数？

③?平均排队长度？

④?非空排队的平均车辆数？

⑤?系统中平均消耗时间？

⑥?排队系统中平均等候时间？

▲10．今有一停车场，到达车辆数是?60veh／h，停车场服务能力为?100veh／h，其单一的出人

道可存车?6?辆，问该数量是否合适？

11．道路上有一交通流，其流量为?1000veh／h，密度为?20veh／km。一货车以?12km／h?的车速

驶入上述交通流，行驶了?2km?后离去。因为后面的车辆不能超越卡车，故被迫调整车速，其密

度为?100?veh／km。已知道路的通行能力为?1500veh／h，对应的速度为?30km／h，求：

①货车驶入——驶离期间车队的长度？

②相对于货车驾驶员而言，车队尾部的速度？方向？

③货车驶离道路后多少时间没有车队存在？

12．某单向道路穿过小学校区域，为了保证交通安全该区域内车辆的行驶速度限制为

15km／h。道路的通行能力为?3?000veh／h。若高峰期间从上游驶来的车流速度为?40?km／h，流

量为?4?000veh／h，持续了?1／5?h?之后上游车流量降至?2?500?veh／h，速度为?50?km／h。试计

算。①最大拥挤车队车辆数②拥挤的持续时间