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《一元二次方程》 》（概念、解法与判别式）
知识 梳理 ：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、
分解因式法），一元二次方程根的判别式. 考点 一 、 一元二次方程的概念一般形式:ax 2 +bx+c=0(a≠0) 1．以下方程中① 13122 xx
② 0 5 22 2 y xy x
③ 0 1 72 x
④ 022y,一元二次程是（
）
A． ①和②
B． ②和③
C． ③和④
D． ①和③ 2．关于 x 的方程(a 2 -a-2)x 2 +ax+b=0 是一元二次方程的条件是（
）
A．a≠-2 且 a=1
B．a≠2 C．a≠2 且 a≠-1 D．a=-1 考点 二 、 一元二次方程的根 1．已知关于 x 的一元二次方程（k+4）x 2 +3x+k 2 +3k-4=0 的一个根为 0，求 k 的值． 2．已知 t 是方程 x 2 －x－1=0 的一个解，则－t 3 ＋2t 2 ＋2 002 的值为（
）． A．2 001
B．2 002
C．2 003
D．2 004 3．设 t 是一元二次方程20 ax bx c 的一个实数根，则24 N b ac 与2(2 ) M at b 的大小关系是（
）． A． N M
B． N M
C． N M
D．不能确定 考点 三 、 一元二次方程的解法
直接开平方法:x 2 =p(p≥0) (mx+n) 2
=p(p≥0)
配方法 公式法: 因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 1．开平方法解下列方程：
（1）0 125 52 x
（2）289 ) 3 ( 1692 x
（3）0 3612 y
（4）0 ) 3 1 (2 m
（5）20.01 0 y
（6）210.5 03x （7）2(3 1) 9 0 x
（8）85) 1 3 ( 22 x 2．用配方法解下列各方程：
（1）22 8 0 x x
（2）0 1 52 y y （5）22 2 30 0 x x
（6）21 106 3x x
3．用公式法解下列各方程：
（1）22 2 0 x x
（2）22 2 7 x x （3）234 12y y
（4）
3 (32) 1 x x 4．用因式分解法解下列各方程：
（1）0 9412 x
（2）23 5 0 x x （3）0 21 72 x x
（4）0 45 42 y y （7）2( 1) 2( 1) 3 x x
（8）2 24( 3) 25( 2) x x
5．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：
（1）128 ) 7 2 ( 22 x
（2）2 2 2) 2 ( 2 1 2 m m m m （3）
) 3 )( 2 ( ) 2 ( 6 x x x x
（4）3) 1 3 (2) 2 3 (332 y y y y y
（5）2 2) 3 ( 144 ) 5 2 ( 81 x x
6．解关于 x 的方程（含有字母系数的方程）：
（1）0 22 2 2 n m mx x
（2）1 2 4 32 2 a ax a x
(3) n m nx x n m 2 ) (2（0 n m）
(4) x a x a x x a ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2 2 2 2
考点四、一元二次方程根的判别式 知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且 0 a ，注意分类讨论； 2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况； 3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围； 4．解决一元二次方程的整数根问题.
5．进行有关的证明, 1．不解方程，判别方程根的情况：
（1）4 x x x 7 32
（2）
x x 4 ) 2 ( 32
（3）
x x 5 4 5 42
2．已知关于 x 的二次方程 0 9 62 x kx ，那么：
（1）当 k 满足
时,方程有两个不等的实数根；
（2）当 k 满足
时,方程有两个相等的实数根； （3）当 k 满足
时,方程无实数根.
3．关于 x 的方程22 0 x kx k 的根的情况是
． 4．如果关于 x 的方程 02 k x x 没有实数根，则 k 的取值范围为
． 5．已知关于 x 的方程23 12 1 kx x k 有两个相等实根，那么 k
． 6 ． 已 知 关 于x的 方 程2( 2) 2 3 0 m x mx m 有 两 个 实 根 ， 则m的 取 值 范 围是
． 7．若关于 x 的方程24 3 0 kx x 有实根，则 k 的非负整数值是
. 8．已知0 k ，且方程23 12 1 kx x k 有两个相等实根，那么 k 的值等于（
）． A． 2 3
B．2 3
C．3 或4
D．3 9．已知关于ｘ的方程 m x m x 1 ) 2 ( 42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．
10．对任意实数 m，求证：关于 x 的方程 0 4 2 ) 1 (2 2 2 m mx x m 无实数根. 11． k 为何值时，方程 0 ) 3 ( ) 3 2 ( ) 1 (2 k x k x k 有两个不相等的实数根. 12．已知关于 x 的方程 0 )21( 4 ) 1 2 (2 k x k x ． （1）求证：无论 k 取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4，另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 13. 若关于 x 的二次方程 ) 1 ( 2 ) 1 (2 2x c bx x a 有两个相等实根，则以正数 a、b、c为边长的三角形是（
）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．任意三角形 知识点五：根与系数的关系
关系:
x 1 +x 2 =-b/a
x 1
x 2 =c/a
已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,
求与方程的根有关的代数式的值,
求作一元二次方程,
已知两数的和与积,求此两数
判断方程两根的特殊关系, 知识点六：实际问题与一元二次方程: 审, 设, 列. 解, 验, 答,
1 2011 山东一元二次方程中考题
1 1 . （2011 山东滨州，3，3 分）某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程中正确的是(
) A.
2289 1 256 x
B. 2256 1 289 x
C.
289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289 2 2 . （2011 山东威海，9，3 分）关于 x 的一元二次方程2( 2) 1 0 x m x m 有两个相等的实数根，则 m 的值是（
）
A． 0
B． 8
C． 4 2
D． 0 或 8
3 3 . （2011 山东济宁，5，3 分）已知关于 x 的方程 x
2 ＋ bx ＋ a ＝0 有一个根是－ a ( a≠0) ，则 a－b 的值为 A．－１
B．0
C．1
D．2 4 4 . （2011 山东潍坊，7，3 分）关于 x 的方程22 1 0 x kx k 的根的情况描述正确的是（ ）
A . k 为任何实数，方程都没有实数根
B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5 5 . （2011 山东滨州，14，4 分）若 x=2 是关于 x 的方程2 25 0 x x a 的一个根，则 a 的值为______. 6 6 . （ 2011 山 东 德 州 14,4 分 ）
若1x ，2x 是 方 程21 0 x x 的 两 个 根 ， 则2 21 2x x =__________． 7 7 . （2011 山东泰安，21 ，3 分）方程 2 x2 +5 x -3=0 的解是
。
8 8 . （2011 山东聊城，18，7 分）解方程：
2 2 0 x x x
9 9 . （2011 山东日照，20，8 分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预计到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． (1)求每年市政府投资的增长率；
1 10 0 . （2011 山东东营，22，10 分）(本题满分 10 分) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008 年底全市汽车拥有量为 15 万辆，而截止到 2010 年底，全市的汽车拥有量已达 21.6 万辆。
（1）
求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从 2011 年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆；另据估计，该市从 2011 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。
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