专题1.5,三角函数及恒等变换（解析版）

　 1 专题 1.5

　三角函数及恒等变换

　一、选择题：（本大题共 16 题，每小题 4 分，共计 64 分）

　1、 sin570  的值为（

　）

　A．12

　B．22 C．12 D．32

　【答案】A 【解析】1sin(360 210 ) sin210 sin(180 30 sin5 ) sin3 70 02         . 故选：A 2、若5sin13   且 a 为第三象限角，则 tan  的值等于（

　）

　A． 125 B．125

　C．512 D．512

　【答案】C 【解析】因为5sin13   且 a 为第三象限角，所以12cos13   ， 则5tan12  .故选：C 3、已知角  的终边与单位圆的交点为5 2 5,5 5P    ，则 sin cos     （

　）

　A．55 B．55 C．3 55 D．3 55 【答案】A 【解析】由三角函数的定义得5cos5   ，2 5sin5   ，因此，5sin cos5    .故选：A. 4、已知 (0, )    ，1sin cos3    ，则 cos2   （

　）

　A．179

　B．179

　C．53

　D．53

　【答案】A 【解析】因为1sin cos3    ，所以  2 1sin cos9    ，则11 2sin cos9    ，

　 2 所以82sin cos 09     ， 又 (0, )    ，所以 cos 0   ， sin 0   ， 因此  2 17 17cos sin cos sin 1 2sin cos9 3                 ， 因此  17cos sin cos s o i c9s2 n           . 故选：A. 5、已知     sin 2cos0         ，则1sin cos  

　 （

　）

　A．52 B．2 C．12 D．-2 【答案】A 【解析】

　    sin 2cos 0         ， sin 2cos 0      ， tan 2    ， 因此，2 2 2 21 sin cos tan 1 2 1 5sin cos sin cos tan 2 2            . 故答案为：A 6、函数 2 cos y x x   的部分图象是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】D 【解析】函数的定义域为 R ， 因为 ( ) 2( )cos( ) 2 cos ( ) f x x x x x f x         ，

　 3 所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除 A，C， 因为当 (0, )2x 时， 2 cos 0 y x x    ，故排除 B， 故选：D 7、函数 sin 23y x     的图像（

　）

　A．关于点,06    对称 B．关于点 ,03    对称 C．关于直线6x 对称 D．关于直线3x 对称 【答案】B 【解析】令 2 ( )3x k k Z    ,得12 6x k   ,所以对称点为1,02 6k   . 当 1 k  ,为 ,03    ,故 B 正确； 令 2 ( )3 2x k k Z      ,则对称轴为2 12kx   , 因此直线6x 和3x 均不是函数的对称轴.故选：B 8、已知 ，且 ，则 （）

　A．

　B． C． D．

　【答案】A 【解析】

　，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A. 9、设函数       sin cos f x a x bx         ，其中 a ， b ，  ，  都是非零常数，且满足 120193f   ，则   2020 f  （

　）

　 4 A．2 23 B．13

　C．13 D．2 23 【答案】C 【解析】由题   2019 f   sin 2019 a       cos 2019 b    1sin cos3a b       ， ∴1sin cos3a b      ， ∴   2020 f    sin 2020 a      cos 2020 b    1sin cos3a b       ． 10、要得到函数 sin 23y x     的图象，只需将函数 cos 23y x     的图象（

　）

　A．向左平移12个单位 B．向右平移12个单位 C．向左平移6个单位 D．向右平移6个单位 【答案】A 【解析】

　cos 2 cos 2 sin 2 sin23 6 2 6 12y x x x x                                  ， 而 sin 2 sin23 6y x x              ，所以只需将函数 cos 23y x     的图象向左平移12个单位，即可得到函数 sin 23y x     的图象. 故选：A． 11、已知函数 ( ) sin3f x x     ．给出下列结论：

　①( ) f x 的最小正周期为 2  ； ②2f    是( ) f x 的最大值； ③把函数sin y x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，可得到函数 ( ) y f x  的图象． 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】

　 5 因为 ( ) sin( )3f x x  ，所以周期22 T  ，故①正确； 5 1( ) sin( ) sin 12 2 3 6 2f        ，故②不正确； 将函数 sin y x  的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到 sin( )3y x  的图象， 故③正确. 故选：B.

　12、将函数 3cos sin ( ) y x x x R    的图象向左平移  0 m m 个长度单位后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（

　）

　A．12 B．6 C．3 D．56 【答案】B 【解析】由题意得， 3cos sin 2sin( )3y x x xp= + = + ，令 ,3 2x k k Z      ，可得函数的图象对称轴方程为 ,6x k k Z    ，取 0 k  是 y 轴右侧且距离 y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移  0 m m 个长度单位后得到的图象关于 y 轴对称， m 的最小值为6，故选 B． 13、若2cos( )12 10x   ，5 11,12 12x     ，则 cos( )6x 值为（

　）

　A．35 B．45 C．35-

　D．45

　【答案】A 【解析】2cos( )12 10x   ，5 11,12 12x     ，则 ,12 2x     ， 27 2sin 1 cos12 12 10x x                ， cos( ) cos cos cos sin sin6 4 12 4 12 4 12x x x x                                    2 2 2 7 2 3=2 10 2 10 5        .故选：

　A . 14、函数 ( ) cos( )( 0)3f x x     的图像关于直线2x 对称，则  的最小值为

　 ．

　 6 A．2 B． .32 C．3 D．4 【答案】B 【解析】法 解法 1：根据余弦函数的图像及性质，令  k x  3， Z k 得kx3，令23k得k 232   ， Z k ，又因为 0   ，所以当 0  k 时  取得最小值为 .32 法 解法 2：

　：由条件可得 1 )2(  f ，即 1 )3 2cos (    ，则  k  3 2， Z k ，解得 k 232   ， Z k ，又因为 0   ，所以当 0  k 时  取得最小值为 .32 15、 若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ< π )的图像经过点 π6 ，2 ，且相邻两条对称轴间的距离为π2 ，则f π4的值为________． A．－35

　B． .32 C．3 D． 3

　【答案】D 【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2 ，知其最小正周期 T＝2×π2 ＝π，从而得 ω＝2 πT ＝2 ππ ＝2，又 f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像经过点 π6 ，2 ，所以 2sin π3 ＋φ ＝2，解得 φ＝2k π ＋π6 (k∈Z)，又因为 0<φ<π，所以 φ＝π6 ，故 f(x)＝2sin 2x＋π6，即有 f π4＝2sin2π3 ＝ 3. 16、 已知 θ 是第四象限角，且 cosθ＝45 ，那么sin θ＋π4cos () 2θ－6 π的值为________． A．5 214

　B．-5 214

　C．2 23 D． 3

　【答案】A 【解析】

　因为 θ 是第四象限角，所以 sinθ<0， 则 sinθ＝－ 1－cos 2 θ＝－35 ， 所 以sin θ＋π4cos（2θ－6 π ）＝sinθcosπ4 ＋cosθsinπ4cos2θ＝22 （sinθ＋cosθ）cos 2 －sin 2 θ＝22 （sinθ＋cosθ）（cosθ＋sinθ）（cosθ－sinθ）

　＝2245 － －35＝5 214 .

　二、解答题（本大题共 4 小题，共计 36 分）

　 7 17、（本小题 8 分）在△ABC 中，sinA＝23 ，A∈ π2 ， π . (1) 求 sin2A 的值； (2) 若 sinB＝13 ，求 cosC 的值． 【解析】(1)由 sinA＝23 ，A∈ π2 ， π ，则 cosA＝－1－sin 2 A＝－ 1－ 232＝－53 ， 所以 sin2A＝2sinAcosA＝－4 59.

　(2)由 A∈ π2 ， π ，知 B 为锐角． 又 sinB＝13 ，所以 cosB＝1－ 132＝2 23 ，

　所以 cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)

　＝－ －53 ×2 23 －23 ×13 ＝2 10＋29. 18、（本小题 8 分）已知函数 f(x)＝cos 2 x＋2 3sinxcosx－sin 2 x，x∈R. (1) 求函数 f(x)的单调增区间； (2) 求方程 f(x)＝0 在(0，π]内的所有解． 【解析】

　f(x)＝cos 2 x＋2 3sinxcosx－sin 2 x＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin 2x＋π6. (1)由－π2 ＋2k π ≤2x＋π6 ≤π2 ＋2k π ，k∈Z，解得－π3 ＋kπ≤x≤π6 ＋kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调增区间为 ]，k∈Z . (2)由 f(x)＝0 得 2sin 2x＋π6＝0，解得 2x＋π6 ＝kπ，即 x＝－π12 ＋kπ2 ，k∈Z. 因为 x∈(0，π]，所以 x＝5π12 或 x＝11π12 .

　19、（本小题 10 分）、已知 cosα＝4 37 ，α∈ 0，π2. (1) 求 sin π4 ＋α 的值； (2) 若 cos(α＋β)＝1114 ，β∈ 0，π2，求 β 的值． 【解析】

　(1) 由 cosα＝4 37 ，α∈ 0，π2， 得 sinα＝ 1－cos 2 α＝ 1－ 4 372＝17 . 所以 sin π4 ＋α ＝sinπ4 cosα＋cosπ4 sinα ＝22 ×4 37 ＋22 ×17 ＝4 6＋ 214. (2) 因为 α，β∈ 0，π2，所以 α＋β∈(0， π )．

　 8 又 cos(α＋β)＝1114 ，则 sin(α＋β)＝1－cos 2 （α＋β）＝ 1－ 11142＝5 314 . 所以 sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝5 314 ×4 37 －1114 ×17 ＝12 . 因为 β∈ 0，π2，所以 β＝π6 .

　20（本小题 10 分）、设 α∈ 0，π3，已知向量 a＝( 6sin α ， 2)，b＝ 1，cos α －62，且 a⊥b. (1) 求 tan α ＋π6的值； (2) 求 cos 2 α ＋7π12的值． 【解析】

　(1) 因为 a＝( 6sina， 2)，b＝ 1，cos α －62，且 a⊥b. 所以 6sina＋ 2cos α ＝ 3，所以 sin α ＋π6＝64 . 因为 α∈ 0，π3，所以 α＋π6 ∈ π6 ，π2， 所以 cos α ＋π6＝104 ， 故 sin α ＋π6＝ 1－cos 2 α ＋π6＝64

　所以 tan α ＋π6 ＝155 (2) 由(1)得 cos 2α＋π3＝2cos 2 α ＋π6－1＝2× 1042－1＝14 . 因为 α∈ 0，π3，所以 2α＋π3 ∈ π3 ，π ， 所以 sin 2 α ＋π3＝154. 所以 cos 2 α ＋7π12＝cos ] ＝cos 2 α ＋π3cosπ4 －sin 2a＋π3sinπ4

　＝2－ 308