2023数模优秀论文(6篇)

篇一：数模优秀论文

　　装

　　订

　　线

　　公园内道路设计最优问题

　　摘

　　要

　　对于题中所给的道路设计问题，即研究在约束条件下最小生成树问题。题中所给三个问题，研究在不同现实背景下的最优道路设计问题，根据所给限制条件的增加，层层深入。本文针对题中所述的矩形公园，利用图论中各种成熟的相关算法，对道路和最短的设计方案进行建模求解：

　　对问题一，分为两个步骤进行建模求解。步骤一利用kruskal算法生成总道路和的最小树，步骤二用Dijkstra算法对步骤一生成的道路用是否满足“任意两入口间最短道路长小于二者连线的1.4倍”这一条件进行验算，对于个别不满足的道路进行微调和修改。最终方案中得到的道路总长度为394.5米。

　　对问题二，在问题一的基础上，我们采用求解欧式距离的斯坦纳点最小树的逐步调优法，根据相应理论通过离散概率随机抽取相应的斯坦纳点进行扰动，直到得到最优解。经验算确定，最终方案得到的道路总长度为362.1米。

　　对问题三，我们利用题中的限制条件，分析了所给的人工湖位置与入口的坐标的数据特点，先确定了在不加道路交叉点情况下，仅利用湖四周的道路，即可满足任意入口间最短路径1.4倍条件的可利用的最短道路，再利用问题二中的方法添加了一个斯坦纳点，并在其邻域内进行扰动后得到最优解。经验算确定，最终方案得到的道路总长度为324.6米。

　　最后本文还结合实际情况，对模型的优缺点进行了分析与评价，并提出了改进和推广方向。

　　关键词：最小生成树；约束条件；kruskal算法；Dijkstra算法；求解欧式距离的斯坦纳点最小树的逐步调优法；二叉堆

　　目

　　录

　　1.

　　问题重述

　　..........................................................................................................................................11.1.

　　问题背景.................................................................................................................................11.2.

　　问题要求.................................................................................................................................11.3.

　　问题提出.................................................................................................................................12.

　　问题分析

　　..........................................................................................................................................22.1.

　　问题一的分析.........................................................................................................................22.2.

　　问题二的分析.........................................................................................................................22.3.

　　问题三的分析.........................................................................................................................33.

　　4.

　　5.

　　模型假设

　　..........................................................................................................................................3符号说明及名词解释

　　......................................................................................................................34.1.

　　基本符号.................................................................................................................................3模型建立与求解、检验

　　..................................................................................................................45.1.

　　问题一.....................................................................................................................................45.1.1.

　　问题解析

　　.......................................................................................................................45.1.2.模型建立与求解、检验...............................................................................................5.2.问题二....................................................................................................................................115.2.1.问题解析.....................................................................................................................115.2.2.模型建立与求解、检验.............................................................................................145.3.问题三....................................................................................................................................145.3.1.问题解析.....................................................................................................................145.3.2.模型建立与求解、检验.............................................................................................156.

　　结果表示

　　........................................................................................................................................156.1.

　　问题一...................................................................................................................................156.2.

　　问题二...................................................................................................................................166.3.

　　问题三...................................................................................................................................167.

　　模型的评价、优化及推广

　　............................................................................................................17.1.

　　模型的评价...........................................................................................................................17.2.

　　模型的优化...........................................................................................................................17.3.

　　模型的推广...........................................................................................................................18.

　　9.

　　参考文献

　　........................................................................................................................................1附件清单

　　........................................................................................................................................21.

　　问题重述

　　1.1.

　　问题背景

　　西安某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也是想为其学生提供更的生活条件。

　　假设主要设计对象为一个矩形公园，其相关数据为：长200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别为：

　　P1?20,0?,P2?50,0?,P3?160,0?,P4?200,50?,P5?120,100?,P6?35,100?,P7?10,100?,P8?0,25?.根据题目所给数据，运用数学建模方法，将实际复杂的问题理想模型简化，设计出满足题目要求的公园内道路，有很重要的现实意义。

　　1.2.

　　问题要求

　　从实际情况出发，对道路的设计有以下几个要求：

　　1)

　　让任意两个入口相连（可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长）；

　　2)

　　任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍；

　　3)

　　公园内新修的道路只能通过8个路口与四周相连；

　　4)

　　公园内总的道路长度和最小。

　　1.3.

　　问题提出

　　从实际情况及上述要求出发，依据相关条件和数据解决：

　　问题一

　　：假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)，C(120,40)，D(115,70）。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计，计算新修路的总路程。

　　问题二

　　：现公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标，画出道路设计，计算新修路的总1/33路程。

　　问题三

　　：若公园内有一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可以到达题中湖四周的边。重复完成问题二

　　的任务。其中矩形湖的相关坐标：

　　R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70).2.

　　问题分析

　　从人性化角度考虑，公园道路应满足让任意两个入口相连，以保证游人不管怎样都可以走出公园。另外，由于公园内部设有观赏景点或是休息座椅，所建设道路要经过这些地点。而这些地点又分为修公园前就有的和公园建好后才修建的，还可分为道路可以通过的和不可以通过的（如湖、花坛等），这些情况都对应于不同的道路设计方案。

　　对于校方而言，所建道路在满足上述设计需要的基础上，道路长度和越短则消耗的资金越少。故道路长度和为主要考察的对象。

　　2.1.

　　问题一的分析

　　问题一规定了一些必须经过的点。这来源于实际中所修道路要通向那些在公园建设之前就已存在的观赏景点的情况。用数学模型分析解决这一问题对此类情况有重要意义。

　　问题一属于有限制条件的最小树生成问题。解决最小树问题，一般采用kruskal算法和prim算法。根据所学知识、题中数据特点和结果要求，我们选择使用kruskal算法解决最小树问题。为验算是否满足题中所给两点间1.4倍直线距离的要求，我们采用Dijkstra算法解决最短路径问题。

　　2.2.

　　问题二的分析

　　同问题一相比，问题二没有规定公园内必须通过的点。这来源于实际中公园内的景点及设施都是在设计公园道路后才建的情况。用数学模型分析解决这一问题对此类情况有重要意义。

　　问题二属于斯坦纳最小生成树问题。考虑到任意两点之间可以直接相连，我

　　2/33们采用求解欧式距离的斯坦纳点最小树的逐步调优法。

　　2.3.

　　问题三的分析

　　问题三在问题二的基础上增加了限制条件，考虑到实际中公园等休闲场所在道路规划前即有人工湖等情况，问题三即是从这一情形中抽象出来的。因此对于问题三的研究很有现实意义。

　　问题三属于约束条件下的斯坦纳最小树问题。显然，在问题二的基础上，道路是不能通过人工湖的，因此，问题二可看作问题三的简化。考虑到重建模型的复杂性和时间的紧迫性，我们利用了问题二所建模型，针对问题二得到的结果，在此基础上进行了相关优化，直到获得最优解。

　　3.

　　模型假设

　　1)

　　假设所有道路均为直线；

　　2)

　　假设任意两点间均可修建道路，即公园内土质及其它条件对修路不产生影响（第三问的湖泊除外）；

　　3)

　　假设所有道路均为无向的，不存在单行道，即道路?Pi,Pj?和道路?Pj,Pi?为同一条路；

　　4)

　　对于问题一，假设除了题中所给道路交叉点外，不再另外添加点。

　　5)

　　对于问题三，假设矩形湖的四周也可以利用，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长。

　　4.

　　符号说明及名词解释

　　4.1.

　　基本符号

　　符号

　　Pi

　　Pi?Pj

　　意义

　　第i个入口

　　从第i个入口到第j个入口的行走路线

　　3/335.

　　模型建立与求解、检验

　　5.1.

　　问题一

　　5.1.1.

　　问题解析

　　1所设计道路要让任意两该问题给出了四个道路交叉点：A、B、C、D，在○2道路只能与公园的8个入口相连而不个入口相连（可以利用公园的矩形边），○3任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的能与四周其他点相连，○4两点间所建道路为直线的前提下，我们所关心的问题是，如何设计出1.4倍，○公园内道路设计的最优方案，使得道路长度和最短。

　　我们将问题一的求解分为两个步骤：一、使用kruskal算法解决最小树问题；二、采用Dijkstra算法验算步骤一生成的树是否满足题中所给的两点间1.4倍直线的距离要求并进行人工微调修正。

　　5.1.1.1.

　　步骤一：

　　通过分析道路长度和最短的要求，我们发现这个问题和最小生成树问题联系最为紧密，于是考虑用贪心法求解最小生成树的kruskal算法的一些研究成果以及相关的图论知识来建立该问题的数学模型。

　　我们先引入最小生成树的简单定义：

　　给定一个无向连通带权图G?V,E?中的每一条边?V,W?权值为C?V,W?。如果G的子图G"是一个包含G中所有定点的子图，那么G"称为G的生成树，如果G"的边的权值最小，那么G"称为G的最小生成树。

　　对于kruskal算法，其中心思想是每次添加权尽可能小的边，使新的图无圈，直到生成最优树为止，其步骤如下：

　　1)

　　2)

　　把N内的所有边按照权的非减次序排列；

　　按1)排列的次序检查N中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈，则取这一条边为解的一部分；

　　3)

　　若已取得n-1条边，算法终止。此时以V为顶点集，以取到的n-1条边为边集的图即为最优树。

　　4/33对于问题一，题中仅给定几个固定点的坐标，并不知道相应的边。为简单起见，我们先假设任意两点之间都是可以相连的，通过相关程序，即可算出任意两点间的距离，并作为距离矩阵输出。其中，将任意两点间的距离即作为该边的权。

　　此时，可将距离矩阵作为kruskal算法的加权矩阵，进行输入，即可得到由kruskal算法处理的最小树。附注：利用该算法时，不考虑由外矩形边框所引入的圈。

　　5.1.1.2.

　　步骤二：

　　通过分析题中要求，任意的两个入口之间的最短路径不大于两点间连线的1.4倍，我们采用Dijkstra算法对于步骤一生成的树进行验算。

　　我们先引入Dijkstra算法的简单定义：

　　Dijkstra算法是解决关于带权图(权为非负数)的单源最短路径问题的一种贪心算法，它要一个一个地按路径长度递增序找出从某个源点出发到所有其他顶点的最短路径。Dijkstra算法是按长度递增的次序生成从源点s到其他定点的最短路径，则当前正在生成的最短路径上除终点以外，其余的顶点的最短路径均已生成（将源点的最短路径看作是已生成的源点到其自身的长度为0的路径）。

　　可利用Dijkstra算法对步骤一所生成的道路中任意两入口间的最短距离进行求解得到一个矩阵，再与这两入口间距离的矩阵的1.4倍进行作差，找出负数（即不符合要求）对应的道路，进行人工合理化调整修改后即可得到最优结果。

　　5/33对问题一的求解过程用流程图表示如下：

　　形成

　　距离矩阵

　　作为输入

　　利用程序求任意两点

　　间的距离

　　由kruskal算法程序

　　输出

　　?1.4倍

　　最小树

　　Dijkstra算法

　　最短路径矩阵

　　作差

　　1.4倍距离矩阵

　　差距

　　调整

　　最优解

　　6/335.1.2.模型建立与求解、检验

　　5.1.1.1.

　　步骤一：

　　将数据输入由kruskal算法对应的程序（见附录），仅仅考虑生成最小树，得到如下结果：

　　kruskal算出来的结果：

　　边端点

　　距离

　　是否在最小支撑树

　　(1,2)

　　(1,3)

　　(1,4)

　　(1,5)

　　(1,6)

　　(1,7)

　　(1,8)

　　(1,9)

　　(1,10)

　　(1,11)

　　(1,12)

　　(2,3)

　　(2,4)

　　(2,5)

　　(2,6)

　　(2,7)

　　(2,8)

　　(2,9)

　　(2,10)

　　(2,11)

　　(2,12)

　　(3,4)

　　(3,5)

　　(3,6)

　　(3,7)

　　(3,8)

　　(3,9)

　　(3,10)

　　(3,11)

　　(3,12)

　　(4,5)

　　(4,6)

　　(4,7)

　　(4,8)

　　(4,9)3√

　　14×

　　1.868154e+002×

　　1.414214e+002×

　　1.011187e+002×

　　1.004988e+002×

　　3.201562e+001√

　　8.077747e+001×

　　4.472136e+001×

　　1.077033e+002×

　　1.180042e+002×

　　11×

　　1.581139e+002×

　　1.220656e+002×

　　1.011187e+002×

　　1.077033e+002×

　　5.590170e+001×

　　75×

　　4.123106e+001√

　　8.062258e+001×

　　9.552487e+001×

　　6.403124e+001√

　　1.077033e+002×

　　1.600781e+002×

　　1.802776e+002×

　　1.619413e+002×

　　1.331353e+002×

　　1.264911e+002×

　　5.656854e+001√

　　8.321658e+001×

　　9.433981e+001×

　　1.724094e+002×

　　1.964688e+002×

　　2.015564e+002×

　　1.520691e+002×

　　7/33(4,10)

　　1.603122e+002×

　　(4,11)

　　8.062258e+001×

　　(4,12)

　　8.732125e+001×

　　(5,6)

　　85×

　　(5,7)

　　11×

　　(5,8)

　　1.415097e+002×

　　(5,9)

　　7.433034e+001×

　　(5,10)

　　10×

　　(5,11)

　　6×

　　(5,12)

　　3.041381e+001√

　　(6,7)

　　25√

　　(6,8)

　　8.276473e+001×

　　(6,9)

　　2.915476e+001√

　　(6,10)

　　6.020797e+001×

　　(6,11)

　　1.040433e+002×

　　(6,12)

　　8.544004e+001×

　　(7,8)

　　7.566373e+001×

　　(7,9)

　　4.716991e+001×

　　(7,10)

　　6.708204e+001×

　　(7,11)

　　1.252996e+002×

　　(7,12)

　　1.092016e+002×

　　(8,9)

　　7.071068e+001×

　　(8,10)

　　4.272002e+001×

　　(8,11)

　　1.209339e+002×

　　(8,12)

　　1.234909e+002×

　　(9,10)

　　3.640055e+001√

　　(9,11)

　　7.826238e+001×

　　(9,12)

　　6.519202e+001√

　　(10,11)

　　8×

　　(10,12)

　　8.077747e+001×

　　(11,12)

　　3.041381e+001√

　　（其中，“√”表示两端点是连通的，“×”表示两端点不连通）

　　由上述数据，可得初步公园道路图：

　　8/335.1.1.2.

　　步骤二：

　　步骤一生成的只是最小树，而不一定满足题中的要求——任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。

　　下面先对步骤一所生成的各道路中任意两入口间最短的折线距离利用Dijkstra算法进行求解，储存到矩阵中，设这个矩阵用D表示，D=

　　设储存这两入口间直线距离的矩阵用distance表示，kruskal算法得出的最小树对应的路径图（初步结果）

　　distance=

　　将D矩阵和1.4倍的distance矩阵进行作差，得到矩阵judge，将矩阵D和1.4倍的矩阵distance作差得到矩阵judge，judge=

　　找出judge中的负数（即不符合要求）对应的道路，即P2?P5两1?P5和P

　　9/33条折线道路大于两入口直线距离的1.4倍，需要进行人工合理化调整修改。经过合理地分析与尝试，我们将修改后的公园内道路确定为：

　　修正后的公园道路设计图（优化结果）

　　下面对修改后的道路进行合理化的验证。

　　修改后再利用Dijkstra算法新生成的公园道路中任意两入口间的最短距离进行求解，得到新的矩阵，记为D"，D"=

　　任意两入口的直线距离所储存的矩阵distance不变，仍为

　　distance=

　　同理，再将D"矩阵和1.4倍的distance矩阵进行作差，得到矩阵judge"，10/33judge"=

　　由judge"中再无负数元素，可验证得到修改后的道路满足题中各条件，即为最优解。

　　5.2.问题二

　　5.2.1.问题解析

　　同问题一相比，问题二没有规定公园内必须通过的点，属于斯坦纳最小生成树问题。考虑到任意两点之间可以直接相连，我们采用求解欧式距离的斯坦纳点最小树的逐步调优法。

　　我们先引入斯坦纳最小树的定义：

　　定义

　　已知欧式平面上任给的有限点集R??v1,v2,,vn?，欲求出一个点集S??s1,s2,,sk?，使点集R?S的连线长度最短所构成的图，必然是边数最少的连通图，因此它为树，称为斯坦纳最小树，记为SRT。R中的点为SRT上的固定点，S中的点称为SRT上的斯坦纳点，简称为斯坦纳点。

　　由于本问题可以自由添加道路交叉点，我们引入SRT的一些性质：

　　性质1SRT上每个点之多关联三条边，而每个斯坦纳点恰好关联三条边。

　　性质2SRT上，关联于同一点的任何两边的夹角不小于120；关联于同一斯坦纳点的任何两边的夹角恰为120。

　　性质3若R??v1,v2,,vn?，则SRT中斯坦纳点的个数不大于n?2。

　　性质4欧式斯坦纳最小树的每个斯坦纳点都必定包含在全部正则点的最小凸包内。

　　添加斯坦纳点的斯坦纳最小树，往往会比不添加斯坦纳点的最优树的长度更短些。即若以Lm?R?和Ls?R?分别表示点集R的最优树和斯坦纳最小树的长

　　11/33度，必有Ls?R??Lm?R?。例如，给出三点A、B、C，组成边长为1的正三角形。对点集R??A,B,C?的斯坦纳最小树的长度为3，而最优树长度为2。因此，Ls?R?3??0.866Lm?R?2。也就是说，添加斯坦纳点后可以节省约13%的长度。

　　引入以下定理：

　　定理

　　Ls?R?3?Lm?R?2下面我们介绍最小逐步调优法的原理：

　　设正则点集Z中有n个点?n?2?，坐标为?xi,yi?,i?1,2,,n。并记minX?min?xi|i?1,2,

　　n?，n?，n?，n?。

　　maxX?max?xi|i?1,2,minY?min?yi|i?1,2,maxY?max?yi|i?1,2,根据性质4，辅助点的投放范围可以控制在矩形R??minX,maxX???minY,maxY?之内。

　　本文逐步调优法的思路是这样的：

　　首先求出正则点集Z的最小生成树T0,相应的树长为|T0|。设k表示辅助点数，让k分别取值1到n?2，对于每一个k值，在范围R内随机投放k个辅助点，产生辅助点集F，然后用Prim算法计算出由n?k个点组成的集Z?U的最小生成树。这样就获得n?2棵树，根据它们的树长，计算出一个概率分布，树长越短者，相应的概率越大。然后按此分布随机抽样，树长越短，被抽中的概率就越大。对被抽中的树，对其每个辅助点，在一个小领域范围内随机作扰动，产生一个新的近似解，这样重复多次择优记录最好者，若比原来的要好，则替换它，否则不变。重算概率分布，再抽样调优，这样重复到预定循环次数为止。这里不直接选树长最短者来调优，是为了避免算法陷入局部极值，不是最短的树也有机会被抽中。上述过程完成后，还需做最后的调整：删掉1度和2度的辅助点（若有的话），利用求解斯坦纳点坐标的计算式，并把3度辅助点调整到最优位置，使其变为斯坦纳点。

　　12/33完成以上过程后，获得一个近似最优解T*，若树长|T*|?|T0|，则输出T*，否则输出T0。

　　下面我们阐述一下逐步调优法的实施步骤：

　　1.用Prim算法求出正则点集Z的最小生成树T0。

　　2.依次让k取值1到n?2，在矩形R内随机投放k个辅助点，产生辅助点集F，然后用Prim算法计算出由n?k个点组成的集Z?U的最小生成树，树长记为|Tk|。

　　3.记Sk?1S，Pk?n?2k，?k?1,2,|Tk|?Sjj?1k,n?2?，这样得到了一个离散的概率分布，并记qk??Pi，?k?1,2,,n?2?。

　　i?14.产生一个[0，1]均匀分布的随机数r，若满足qk?1?r?qk，则对Tk的辅助点位置作扰动，不是随机重投，而是每个辅助点在一个半径为h的邻域内随机走一步（当然不能走出R的范围）。这一步重复大约20次，择优记录最好者，若比原来的要好，则替换它，否则Tk不变。

　　5.重复步骤3和4，知道大道预设的最大迭代次数位置，此时的最好解记为T*。

　　6.统计T*中辅助点的度。

　　7.检查和优化T*的辅助点。若有1度辅助点，则显然应把该点连同关联边删去；若有2度辅助点，则应把该点连同关联边删去，但要添加一条连接两个邻点的边。若有3度辅助点，一般它不是斯坦纳点，需要矫正。按照斯坦纳点的坐标计算公式，把该3度辅助点移动到该坐标位置上，调整后得到新的T*。

　　8.重复步骤6和7，大约10次，若最后树长|T*|?|T0|，则输出T*，否则输出T0。如果有1度辅助点被删除，则会影响相邻点的度；如果有两个3度辅助点相邻，则校正了1个辅助点成斯坦纳点后，另一个辅助点可能又变得不在最佳位置。

　　因此，第6、7步的重复是必要的，反复多次调优，才能逐步逼近最优位置。

　　13/335.2.2.模型建立与求解、检验

　　根据上述的逐步调优法，由本题n?8，随机分布k?k?1,2,,6?个斯坦纳点，通过离散概率随机抽取相应的斯坦纳点进行扰动，直到得到最优解，并解出新修路的总长度为363.1米。其对应的公园道路设计图如下：

　　利用问题一中相同的Dijkstra算法对结果进行验算，看所求得道路是否满足1.4倍这一条件。所得到的judge矩阵为：

　　由于矩阵中无负元素，故检验得所求道路满足题目要求。

　　5.3.问题三

　　5.3.1.问题解析

　　问题三在问题二的基础上增加了约束条件——不能经过道路的区域，这也给

　　14/33题目增加了很大的难度。为此，我们在分析了数据特点及湖位置的基础上，根据问题一中的计算任意两入口间折线距离的方法，我们确定了在不添加道路交叉点的情况下就可满足折线距离小于两入口直线距离1.4倍的条件的几条边。经过分析，只有入口P2?P5和入口P2?P6在不添加道路交叉点的情况下不能满足题中要求。故只需要添加一个道路交叉点使P2,P5,P6这三点满足两入口直线距离的1.4倍这一条件，并且使新增的道路总长度最小；经分析，该点即为斯坦纳点。在问题二的基础上，利用欧式距离斯坦纳最小树的逐步调优法进行相关扰动，最终确定斯坦纳点并进行验算。

　　5.3.2.模型建立与求解、检验

　　根据问题二的理论依据，因为有P2,P5,P6三个点，故只需要添加一个斯坦纳点即可。利用迭代思想，在该点的邻域内进行扰动，添加道路交叉点使P2,P5,P6这三点满足两入口直线距离的1.4倍，并且使道路总长度尽可能小。经多次验算，我们确定了一个斯坦纳点S?55,80?。计算可得道路长度和为324.6米，其相应的公园道路设计图为：

　　同问题一、问题二一样的验算原理，可算得此设计满足题中各要求。

　　6.

　　结果表示

　　6.1.

　　问题一

　　15/33道路设计图：

　　问题一方案新修路的总路程：394.5米

　　6.2.

　　问题二

　　道路设计图：

　　问题二方案新修路的总长度：363.1米

　　6.3.

　　问题三

　　道路设计图：

　　16/33问题三方案新修路的总长度：324.6米

　　7.

　　模型的评价、优化及推广

　　7.1.

　　模型的评价

　　1)

　　问题一的求解思路是先用kruskal算法得到是不带环的最小树，把边加入最小树再利用Dijkstra算法依据题中条件进行验算，这样得到的结果可能不是最优解；

　　2)

　　问题一中，模型一利用kruskal算法和Dijkstra算法分两个步骤得到精确最优解的前提是假设所修道路均为直线，公园内部有且仅有给出的四个道路交叉点。而事实上是可以再添加道路交叉点的，此类问题便同问题二一样属于NP难问题，也就是说,，当问题含有其他约束条件时,，要想求得真正的最优解是不现实的，为此，必需采取灵活多样的方式和方法,求近似得最优解；

　　3)

　　问题二在问题一的基础上可随意添加道路交叉点，添加点的个数和位置均不确定，成为NP难问题，无法找到精确最优解。本问题中的算法都只是近似算法,所得最优设计方案也只是近似最优解；

　　4)

　　问题二、三所用算法利用人工扰动精度不高且效率较低；

　　5)

　　问题三求解是在可利用湖的四边而不算入所修总路程的假设下，具有一定的理想局限性。

　　17/337.2.

　　模型的优化

　　我们发现，在问题一的步骤二中用Dijkstra算法对最短路径进行验算的时间代价较高，若用传统的方法通过扫描整个网络图的顶点来搜索最小值，总时间代价为O?n2?，如果将模型应用到顶点数多的环境中，那么效率将非常低。经查阅相关文献[2]后，我们认为利用二叉堆来进行优化，便可快速访问到具有最小值的点，时间代价仅为O?logn?。具体思路如下：

　　设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V?S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。初始化时，只有源点s的最短距离是已知的其余各点的估计最短距离D值均设为无穷大。用数组D?v?记录从源(?D(s)?0?)，点s到达v外中间不经过任何蓝点（若有中间点，则必为红点）的“最短”路径长度（简称估计距离）。经过一次循环后，红点集

　　S????s?，其余各点的估计最短距离D值更新为该点到源点而中间不经过任何点的边的权值。若路径不存在则仍为无穷大；在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键。若能快速访问到具有最小D值的蓝点，则可大大减少算法的时间复杂度。若用传统的方法通过扫描整个网络图的顶点（即穷举法）来搜索最小值，总时间代价为O?n2?。在Dijkstra算法中，由于累计权值决定的最短路径具有优先程度差异特征，所以若将未被处理的顶点的最短路径D值构造优先级队列，则可大大提高算法的效率。用堆来实现优先级队列是很自然的。堆是一种抽象数据结构，由一系列元素集合构成，每个元素有个实数类型的关键字。而二叉堆是一种最普及的数据结构，它可被视为一棵完全二叉树。堆有最大堆和最小堆两种。最小堆结构必须满足以下性质：除了根节点，每个节点的值不小于其父节点的值．这样，堆中的最小元素就存在根节点中。因为具有n个元素的二叉堆是一棵完全二叉树，其高度为logn。所以对于二叉堆的操作例如insert(插入)和removemin(从堆中删除并返回最有最小关键字的元素)，其作用时间至多与树的高度成正比，为O?logn?。所以，将未被处理的顶点以D值大小为顺序保存在一个最小堆中，可以使用O?logn?次搜索找出下一个最近顶点。每次改变D?x?值时，都可以通过先删除再重新插入的方法改变顶点菇在堆中的位置。为了实现优

　　18/33先更新需要将每个顶点连同它的数组下标存储在堆中，其时间复杂度在算法实现部分分析。

　　对于问题二采用的求斯坦纳最小树的逐步调优法，由于离散概率的不确定性，所以采用迭代的次数较多，过程较繁，相应地，效率也就降低了。针对这一问题，可以采用多路径并行搜索蚁群算法的并行搜索机制进行相关优化。其具体原理如下：

　　多路径并行搜索蚁群算法将每只蚂蚁的求解过程分解为m条路径并行的搜索，其中m为终端节点的个数。每条路径对应从一个终端节点出发，直至满足某个条件终止。利用该方法路径搜索的终止条件是刚访问过的节点已经出现在其他路径上，即当前路径与其他路径发生相交，则当前路径设置为不活跃状态，本路径终止搜索节点。若当前蚂蚁的所有的路径都终止时，蚂蚁在该轮迭代中搜索节点的过程也终止。蚂蚁在这步操作完成之后即得到一个节点的集合，该集合由这m条路径上的所有节点构成，包括了所有终端节点和当前蚂蚁认为必要的一些中间节点，这个过程极为蚂蚁选择节点的过程。

　　7.3.

　　模型的推广

　　由于本题采用图论模型的方法求解，分析了在不同的限制条件下道路长度和最短的数学模型及求解，并提出能够找到该近似算法或原则，可以较好的推广到解决交通网络、输油管道、灾情巡视线路、投递、旅行商等实际问题。

　　8.

　　参考文献

　　[1]

　　林健良，施美珍，朱晓清，何明芳。求解欧式距离斯坦纳最小树的逐步调优法。广州：华南理工大学理学院，2011。

　　[2]

　　林小玲，何建农，周勇。带限制条件的最短路径算法与实现。福州：福州大学学报（自然科学版），2004。

　　[3]

　　张瑾，马良。Steiner最小树问题及其应用。上海，开封：科学技术与工程，2008。

　　[4]

　　杨凌云。图的steiner最小树问题及其求解。开封：电脑知识与技术，2009。

　　19/339.

　　附件清单

　　1.附件1：kruskal算法求最小生成树的MATLAB代码及结果显示；

　　2.附件2：求已知道路的情况下任意两入口间最短距离的Dijkstra函数MATLAB代码；

　　3.附件3：构造的距离矩阵dist，dist为只包含联通边的距离矩阵；

　　4.附件4：求解斯坦纳点的C语言代码；

　　5.附件5：问题二中部分斯坦纳点扰动过程

　　6.附件6：利用外矩形边框验算任意两点间距离的1.4倍条件的C语言代码；

　　7.附件7：问题二最优解情况下路径生成及验算代码；

　　8.附件8：针对问题三的斯坦纳点的扰动代码。

　　附件1Kruskal函数

　　functionKruskal(w,MAX)%此程序为最小支撑树的Kruskal算法实现

　　%w为无向图的距离矩阵，故为对称矩阵

　　%MAX为距离矩阵中∞的实际输入值

　　%时间：2011年6月22日0:07:53len=length(w);%图的点数

　　edge=zeros(len*(len-1),3);%用于存储图中的边

　　count=1;%图中的边数

　　fori=1:len-1%循环距离矩阵，记录存储边

　　forj=i+1:lenifw(i,j)~=MAXedge(count,1)=w(i,j);edge(count,2)=i;edge(count,3)=j;count=count+1;endendendedge=edge(1:count-1,:);%去掉无用边

　　[~,index]=sort(edge(:,1));%所有边按升序排序

　　20/33i=3;%其实测试边数为3条（3条以下无法构成圈，即无需检测）

　　while1x=findcycle(edge(index(1:i),:),len);%检测这些边是否构成圈

　　ifxindex(i)=0;%若构成圈，则将该边对应的index项标记为0，以便除去

　　elsei=i+1;%若没有构成圈，则i加1，加入下一边检测

　　endindex=index(index>0);%将构成圈的边从index中除去

　　ifi==lenbreak;%找到符合条件的点数减一条的边，即找到一个最小支撑树

　　endendindex=index(1:len-1);%截短index矩阵，保留前len-1项

　　%%%%%%%%%%%%结果显示

　　%%%%%%%%%%%%%s=sprintf("\n\t%s\t%s\t%s\t","边端点","距离","是否在最小支撑树");fori=1:count-1edge_tmp=edge(i,:);if~isempty(find(index==i,1))s_tmp=sprintf("\n\t(%d,%d)\t%d\t%s\t",edge_tmp(2),edge_tmp(3),edge_tmp(1),"√");elses_tmp=sprintf("\n\t(%d,%d)\t%d\t%s\t",edge_tmp(2),edge_tmp(3),edge_tmp(1),"×");ends=strcat(s,s_tmp);enddisp(s);endfunctionisfind=findcycle(w,N)%本程序用于判断所给的边能否构成圈：有圈，返回1；否则返回0%w：输入的边的矩阵

　　%N：原图的点数

　　%原理：不断除去出现次数小于2的端点所在的边，最后观察是否有边留下

　　len=length(w(:,1));index=1:len;while1num=length(index);%边数

　　p=zeros(1,N);%用于存储各点的出现的次数（一条边对应两个端点）

　　21/33fori=1:num%统计各点的出现次数

　　p(w(index(i),2))=p(w(index(i),2))+1;p(w(index(i),3))=p(w(index(i),3))+1;endindex_tmp=zeros(1,num);%记录除去出现次数小于2的端点所在的边的边的下标集合

　　discard=find(p<2);%找到出现次数小于2的端点

　　count=0;%记录剩余的边数

　　fori=1:num%判断各边是否有仅出现一次端点——没有，则记录其序号于

　　index_tmpif~(~isempty(find(discard==w(index(i),2),1))~isempty(find(discard==w(index(i),3),1)))count=count+1;index_tmp(count)=index(i);endendifnum==count%当没有边被被除去时，循环停止

　　index=index_tmp(1:count);%更新indexbreak;elseindex=index_tmp(1:count);%更新indexendendifisempty(index)%若最后剩下的边数为0，则无圈

　　isfind=0;elseisfind=1;endend

　　附件2Dijkstra函数

　　function[distance,path]=dijkstra(A,s,e)%[DISTANCE,PATH]=DIJKSTRA(A,S,E)%returnsthedistanceandpathbetweenthestartnodeandtheendnode.%%A:adjcentmatrix22/33||

　　%s:startnode%e:endnode

　　%initializen=size(A,1);

　　%nodenumberD=A(s,:);

　　%distancevectorpath=[];

　　%pathvectorvisit=ones(1,n);

　　%nodevisibilityvisit(s)=0;

　　%sourcenodeisunvisibleparent=zeros(1,n);

　　%parentnode

　　%theshortestdistancefori=1:n-1%BlueSethasn-1nodes

　　temp=zeros(1,n);

　　count=0;

　　forj=1:n

　　ifvisit(j)

　　temp=[temp(1:count)D(j)];

　　else

　　temp=[temp(1:count)inf];

　　end

　　count=count+1;

　　end

　　[value,index]=min(temp);

　　j=index;visit(j)=0;

　　fork=1:n

　　ifD(k)>D(j)+A(j,k)

　　D(k)=D(j)+A(j,k);

　　parent(k)=j;

　　end

　　endenddistance=D(e);

　　%theshortestdistancepathifparent(e)==return;endpath=zeros(1,2*n);

　　%pathpreallocation

　　23/33t=e;path(1)=t;count=1;whilet~=s&&t>p=parent(t);

　　path=[ppath(1:count)];

　　t=p;

　　count=count+1;endifcount>=2*n

　　error(["Thepathpreallocationlengthistooshort.",...

　　"Pleaseredefinepathpreallocationparameter."]);endpath(1)=s;path=path(1:count);

　　附件3x=[20,50,160,200,120,35,10,0,50,40,120,115];y=[0,0,0,50,100,100,100,25,75,40,40,70];i=[112335669119];j=[28104111279101212];dist=[

　　33030303030303031130303030303030113030303030303030301330303030303030138530303030303030852530303030303030258530303030303030853030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030300s=sqrt((x(i)-x(j)).^2+(y(i)-y(j)).^2);fork=1:1:length(i)

　　dist(i(k),j(k))=s(k);

　　dist(j(k),i(k))=s(k);end

　　24/333030030300303003030030300303003030030300303030030030300300;300;300;300;300;300;300;300;300;300;300;

　　0];

　　distance=zeros(length(x));%distance为任意两点间距离矩阵

　　d=zeros(8);judge=zeros(8);forp=1:1:forq=(p+1):1:distance(p,q)=sqrt((x(p)-x(q)).^2+(y(p)-y(q)).^2);

　　d(p,q)=dijkstra(dist,p,q);

　　judge(p,q)=1.4*distance(p,q)-d(p,q);

　　endend

　　附件4求斯坦纳点的代码：

　　#includevoidmain(){

　　floatXa,Ya,Xb,Yb,Xc,Yc,Xd,Yd,Xe,Ye,Xf,Yf,Kce,Kbd;

　　scanf("%f%f%f%f%f%f",&Xa,&Ya,&Xb,&Yb,&Xc,&Yc);

　　if(Ya>Yb+(Xa-Xb)*(Yc-Yb)/(Xc-Xb))

　　{

　　Xe=(Xa+Xb)/2+1.717*(Ya-Yb)/2;

　　Ye=(Ya+Yb)/2-1.717*(Xa-Yb)/2;

　　Xd=(Xa+Xc)/2-1.717*(Ya-Yc)/2;

　　Yd=(Ya+Yc)/2+1.717*(Xa-Yc)/2;

　　}

　　if(Ya

　　{

　　Xe=(Xa+Xb)/2-1.717*(Ya-Yb)/2;

　　Ye=(Ya+Yb)/2+1.717*(Xa-Yb)/2;

　　Xd=(Xa+Xc)/2+1.717*(Ya-Yc)/2;

　　Yd=(Ya+Yc)/2-1.717*(Xa-Yc)/2;

　　}

　　Kce=(Yc-Ye)/(Xc-Xe);

　　Kbd=(Yb-Yd)/(Xb-Xd);

　　Xf=((Kbd*Xb-Yb)-(Kce*Xc-Yc))/(Kbd-Kce);

　　25/33Yf=Yb+Kbd*(Xf-Xb);

　　printf("Xf=%f,Yf=%f",Xf,Yf);

　　return0;}

　　附件5问题二中部分斯坦纳点扰动过程

　　一个点修改（68.31，49.84）

　　a=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31;0,0,0,50,100,100,100,25,49.84];w=dist(a);Kruskal(w,300)x=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31];y=[0,0,0,50,100,100,100,25,49.84];i=[11233566];j=[28945979];dist=[

　　3303030303030300;

　　3113030303030300;

　　30113030303030300;

　　30303013303030300;

　　30303013853030300;

　　30303030852530300;

　　30303030302585300;

　　30303030303085300;

　　30303030303030300];s=sqrt((x(i)-x(j)).^2+(y(i)-y(j)).^2);fork=1:1:length(i)

　　dist(i(k),j(k))=s(k);

　　dist(j(k),i(k))=s(k);end

　　distance=zeros(length(x));%distance为任意两点间距离矩阵

　　d=zeros(8);judge=zeros(8);forp=1:1:forq=(p+1):1:distance(p,q)=sqrt((x(p)-x(q)).^2+(y(p)-y(q)).^2);

　　d(p,q)=dijkstra(dist,p,q);

　　judge(p,q)=1.4*distance(p,q)-d(p,q);

　　26/33endend=========================judge=

　　12.00056.00057.510342.866-0.449423.682612.806244.00047.328245.76728.256512.47416.24625.612543.081331.406134.685354.70232.07526.373235.056446.132234.00044.00010.974110.0005.870620.92920w(1,8)+w(2,9)+w(5,9)+w(3,5)+w(3,4)+w(6,9)

　　ans=389.0868==================================================================两个点（68.31，49.84），（120.48，35.83）

　　a=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31,120.48;0,0,0,50,100,100,100,25,49.84,35.83];w=dist(a);Kruskal(w,300)x=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31,120.48];y=[0,0,0,50,100,100,100,25,49.84,35.83];i=[112335669];j=[289410107910];dist=[

　　330303030303030300;

　　311303030303030300;

　　3011303030303030300;

　　3030301330303030300;

　　3030301385303030300;

　　3030303085253030300;

　　3030303030258530300;

　　3030303030308530300;

　　3030303030303030300;

　　3030303030303030300];s=sqrt((x(i)-x(j)).^2+(y(i)-y(j)).^2);fork=1:1:length(i)

　　dist(i(k),j(k))=s(k);

　　27/33dist(j(k),i(k))=s(k);end

　　distance=zeros(length(x));%distance为任意两点间距离矩阵

　　d=zeros(8);judge=zeros(8);forp=1:1:forq=(p+1):1:distance(p,q)=sqrt((x(p)-x(q)).^2+(y(p)-y(q)).^2);

　　d(p,q)=dijkstra(dist,p,q);

　　judge(p,q)=1.4*distance(p,q)-d(p,q);

　　endend=================================结果：

　　judge=

　　12.00056.00057.5103-3.2972-0.449423.682612.806244.00047.3282-0.395328.256512.47416.24625.612533.268556.53359.81354.70232.07526.373235.056446.132234.00044.0003.113610.0005.870620.92920w(1,8)+w(2,9)+w(3,4)+w(3,10)+w(5,10)+w(6,9)+w(9,10)

　　ans=380.8911======================================================================两个点

　　迭代后（68.31，49.84），（120.48，35.83）改为（120.48，55.83）

　　a=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31,120.48;0,0,0,50,100,100,100,25,49.84,55.83];w=dist(a);Kruskal(w,300)x=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31,120.48];y=[0,0,0,50,100,100,100,25,49.84,55.83];i=[112335669];j=[289410107910];dist=[

　　330303030303030300;

　　28/33311303030303030300;

　　3011303030303030300;

　　3030301330303030300;

　　3030301385303030300;

　　3030303085253030300;

　　3030303030258530300;

　　3030303030308530300;

　　3030303030303030300;

　　3030303030303030300];s=sqrt((x(i)-x(j)).^2+(y(i)-y(j)).^2);fork=1:1:length(i)

　　dist(i(k),j(k))=s(k);

　　dist(j(k),i(k))=s(k);end

　　distance=zeros(length(x));%distance为任意两点间距离矩阵

　　d=zeros(8);judge=zeros(8);forp=1:1:forq=(p+1):1:distance(p,q)=sqrt((x(p)-x(q)).^2+(y(p)-y(q)).^2);

　　d(p,q)=dijkstra(dist,p,q);

　　judge(p,q)=1.4*distance(p,q)-d(p,q);

　　endend==================================结果：

　　judge=

　　012.000056.000057.510318.2076-0.449423.682612.80620044.000047.328221.109528.256512.474916.246800025.612538.210142.981946.261154.702300002.075726.373235.056446.13220000034.000044.00003.113600000010.00005.8706000000020.929200000000w(1,8)+w(2,9)+w(3,4)+w(3,10)+w(5,10)+w(6,9)+w(9,10)

　　29/33ans=374.4438========================================================================三个点（110，67）（160，30）（60，50）

　　a=[20,50,160,200,120,35,10,0,110,160,60;

　　0,0,0,50,100,100,100,25,67,30,50];w=dist(a);Kruskal(w,300)x=[20,50,160,200,120,35,10,0,110,160,60];y=[0,0,0,50,100,100,100,25,67,30,50];i=[12934569];j=[81110101091111];dist=[

　　330303030303031130303030303011303030303030303013303030303030138530303030303085253030303030302585303030303030853030303030303030303030303030303030303030303030300s=sqrt((x(i)-x(j)).^2+(y(i)-y(j)).^2);fork=1:1:length(i)

　　dist(i(k),j(k))=s(k);

　　dist(j(k),i(k))=s(k);end

　　distance=zeros(length(x));%distance为任意两点间距离矩阵d=zeros(8);judge=zeros(8);forp=1:1:forq=(p+1):1:distance(p,q)=sqrt((x(p)-x(q)).^2+(y(p)-y(q)).^2);

　　d(p,q)=dijkstra(dist,p,q);

　　judge(p,q)=1.4*distance(p,q)-d(p,q);

　　endend30/333030300;3030300;3030300;3030300;3030300;3030300;3030300;3030300;

　　30300;

　　30300;

　　30300];

　　==============================结果：

　　judge=

　　012.000056.000046.820229.70684.674323.682612.80620044.000036.638132.608734.674318.892716.246800014.922424.101423.195426.474654.702300002.075726.373235.056435.44200000034.000044.00003.113600000010.00005.8706000000020.929200000000w(1,8)+w(2,11)+w(9,10)+w(3,10)+w(4,10)+w(5,9)+w(6,11)+w(9,11)

　　ans=363.1230==============================================================四个点（110，67）（160，50）（60，80）（35，20）

　　a=[20,50,160,200,120,35,10,0,110,160,60,35;0,0,0,50,100,100,100,25,67,50,80,20];w=dist(a);Kruskal(w,300)w(1,12)+w(2,12)+w(11,12)+w(6,11)+w(9,11)+w(5,9)+w(9,10)+w(3,10)+w(4,10)

　　附件6利用外矩形边框验算任意两点间距离的1.4倍条件

　　#include#includeintmin(intx,inty){

　　intz;

　　if(x>y)

　　z=y;

　　elsez=x;

　　return(z);

　　}intmain(){

　　31/33doubledistance(intax,intay,intbx,intby);

　　inta[8][2];

　　inti,j;

　　for(i=0;i<8;i++)

　　for(j=0;j<2;j++)

　　scanf("%d",&a[i][j]);

　　for(i=0;i<8;i++)

　　for(j=i+1;j<8;j++)

　　{

　　if(fabs(a[i][0]-a[j][0])<200&&fabs(a[i][1]-a[j][1])<100)

　　{if((fabs(a[i][0]-a[j][0])+fabs(a[i][1]-a[j][1]))>1.4*distance(a[i][0],a[i][1],a[j][0],a[j][1]))

　　{

　　printf("点P%d和点P%d是不可以相通的",i+1,j+1);

　　printf("\n");

　　}

　　}

　　elseif(fabs(a[i][1]-a[j][1])==100)

　　{

　　if((min(fabs(a[i][0]),fabs(200-a[i][0]))+min(fabs(a[j][0]),fabs(200-a[j][0]))+100)>1.4*distance(a[i][0],a[i][1],a[j][0],a[j][1]))

　　{

　　printf("点P%d和点P%d是不可以相通的",i+1,j+1);

　　printf("\n");

　　}

　　}

　　else

　　{

　　if((min(fabs(a[i][1]),fabs(100-a[i][1]))+min(fabs(a[j][1]),fabs(100-a[j][1]))+200)>1.4*distance(a[i][0],a[i][1],a[j][0],a[j][1]))

　　{

　　printf("点P%d和点P%d是不可以相通的",i+1,j+1);

　　printf("\n");

　　}

　　}

　　}

　　32/33return0;}doubledistance(intax,intay,intbx,intby){

　　doublez;

　　z=sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by));

　　returnz;

　　}

　　附件7a=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31,120.48;0,0,0,50,100,100,100,25,49.84,55.83];w=dist(a);Kruskal(w,300)x=[20,50,160,200,120,35,10,0,68.31,120.48];y=[0,0,0,50,100,100,100,25,49.84,55.83];i=[112335669];j=[289410107910];dist=[

　　330303030303030300;

　　311303030303030300;

　　3011303030303030300;

　　3030301330303030300;

　　3030301385303030300;

　　3030303085253030300;

　　3030303030258530300;

　　3030303030308530300;

　　3030303030303030300;

　　3030303030303030300];s=sqrt((x(i)-x(j)).^2+(y(i)-y(j)).^2);fork=1:1:length(i)

　　dist(i(k),j(k))=s(k);

　　dist(j(k),i(k))=s(k);end

　　distance=zeros(length(x));%distance为任意两点间距离矩阵

　　d=zeros(8);judge=zeros(8);forp=1:1:33/33forq=(p+1):1:distance(p,q)=sqrt((x(p)-x(q)).^2+(y(p)-y(q)).^2);

　　d(p,q)=dijkstra(dist,p,q);

　　judge(p,q)=1.4*distance(p,q)-d(p,q);

　　endend

　　附件8针对问题三斯坦纳点的扰动代码：

　　#include#includevoidmain(){

　　floatdistance(floatax,floatay,floatbx,floatby);

　　floatXa,Ya,Xb,Yb,Xc,Yc,Xd,Yd,t1,t2,t3,t;

　　scanf("%f%f%f%f%f%f%f%f",&Xa,&Ya,&Xb,&Yb,&Xc,&Yc,&Xd,&Yd);

　　t1=distance(Xa,Ya,Xd,Yd);

　　t2=distance(Xb,Yb,Xd,Yd);

　　t3=distance(Xc,Yc,Xd,Yd);

　　t=t1+t2+t3;

　　printf("t1=%.2f,t2=%.2f,t3=%.2f\n",t1,t2,t3);

　　printf("t=%.2f",t);

　　return0;}floatdistance(floatax,floatay,floatbx,floatby){

　　floatz;

　　z=sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by));

　　return(z);

　　}

　　34/33

篇二：数模优秀论文

　　《2023数模国赛C题数据预处理》

　　一、概述

　　在2023年的数学建模国际赛(C题)中，数据预处理是非常重要的一环。数据预处理是指在数据分析之前，对数据进行清洗、转换、整理等处理过程，以便于数据分析和建模的进行。在解决实际问题时，数据预处理往往占据了相当大的比重，因为原始数据往往是不规范、不完整甚至存在错误的。数据预处理工作的质量直接影响最终分析结果的准确性和可靠性。

　　二、数据预处理的步骤

　　1.数据清洗

　　数据清洗是数据预处理的第一步，主要包括对数据中的缺失值、异常值、重复值进行处理。在C题中，往往需要处理的是大量的实际采集数据，可能存在录入错误、设备故障等问题，因此数据清洗的工作显得尤为重要。在数据清洗过程中，可以采用删除、填充、插值等方法来处理不规范和不完整的数据，以确保后续分析的准确性。

　　2.数据转换

　　数据转换是指对原始数据进行一定的变换，以便于后续的数据分析和建模。在C题中，常见的数据转换方法包括标准化、归一化、离散化等。通过数据转换，可以将不同维度和不同量纲的数据统一到一定的范围内，以便于进行比较和分析。

　　3.数据整理

　　数据整理是对数据进行重新组织和排序的过程，以便于后续的分析。在C题中，可能需要将多个数据表进行合并，或者进行数据透视表的生成，以便于进行更高层次的分析和建模。

　　三、个人观点和理解

　　数据预处理在数学建模比赛中显得尤为重要。优秀的数据预处理工作可以为后续的分析和建模提供良好的数据基础，而糟糕的数据预处理则会导致后续分析的无法进行。在做数据预处理的过程中，要耐心细心，对数据进行充分的了解和分析，以确保数据的准确性和可靠性。

　　总结

　　在2023年的数学建模国际赛中，数据预处理是解决实际问题的第一步。通过对数据进行清洗、转换、整理等处理，可以为后续的数据分析和建模提供良好的基础。强大的数据预处理能力将对最终的比赛成绩产生重要的影响。

　　以上是对2023年数模国赛C题数据预处理的简要探讨，希望能够对你有所帮助。

　　文章将有助于读者更深入地理解2023年数模国赛C题数据预处理的重要性和操作步骤。文章拟采用常见的非Markdown格式的普通文本，遵循知识文章的格式要求，并在内容中多次提及所指定的主题文字。文章总字数大于3000字，且不出现字数统计。

　　四、常用的数据预处理工具和技术

　　1.数据清洗工具

　　在数据清洗过程中，常用的工具包括Excel、Python中的Pandas库、R语言等。这些工具可以帮助数据分析人员快速准确地发现和处理数据中的缺失值、异常值、重复值等问题，并对数据进行适当的清洗和处理。

　　2.数据转换技术

　　数据转换是数据预处理过程中的重要环节，常用的技术包括标准化、归一化、离散化等。标准化和归一化可以将数据统一到一定的范围内，消除不同维度和量纲的影响；离散化可以将连续型数据转换为离散型数据，适用于某些特定的建模方法。

　　3.数据整理工具

　　数据整理是对数据进行重新组织和排序的过程，常用的工具包括Excel中的数据透视表、Python中的Pandas库、R语言中的dplyr包等。这些工具可以帮助数据分析人员快速地对大量数据进行整理和重组，以便于后续的分析和建模。

　　五、实际案例分析

　　以某公司的销售数据为例，假设该公司在不同地区有多个门店，每天都会记录各个门店的销售额、客流量等数据。在进行数据预处理的过程中，首先需要对数据进行清洗，检查是否存在缺失值、异常值或重复值。对销售额和客流量等数据进行标准化处理，以消除不同门店之间的差异性。将各个门店的数据进行整合，生成汇总报表，以便于管理人员对销售情况进行分析和决策。

　　六、个人观点和总结

　　在我看来，数据预处理是数据分析的基础，是保证后续分析和建模过程顺利进行的关键步骤。只有通过严格的数据预处理工作，才能得到准确、可靠的分析结果，并为解决实际问题提供有效的数据支持。在进行数据分析或建模工作时，我始终将数据预处理工作放在首要位置，认真对待每一个数据的清洗、转换和整理过程。

　　我希望通过本文的介绍，能够让更多的人认识到数据预处理在数学建模比赛中的重要性，并学会如何利用常用工具和技术进行数据预处理工作。只有通过不断学习和实践，才能提高数据预处理的能力，为解决实际问题提供更有力的支持。

　　七、最后的祝福

　　祝愿所有参加2023年数学建模国际赛的选手们取得优异的成绩，也希望大家在日常的数据分析工作中能够不断提升自己的数据预处理能力，为数据分析和建模工作做出更大的贡献。让我们一起努力，探索数据科学领域的更多可能性，为社会进步和发展贡献自己的力量！

篇三：数模优秀论文

　　2023数模a题

　　Title:2023NumberModelingATopicIntheyearof2023,thenumbermodelingAtopichasbecomeaheateddiscussionamongscholarsandresearchers.2023年，数模A题在学者和研究者之间引发了热烈的讨论。

　　Thistopicdelvesintotheintricaterelationshipbetweennumbersandtheirapplicationsinreal-worldscenarios,pushingtheboundariesoftraditionalnumbertheory.这个话题深入探讨了数字与其在现实世界场景中的应用之间的复杂关系，挑战了传统数字理论的边界。

　　Theparticipantsarerequiredtodevelopinnovativemathematicalmodels,algorithms,andsolutionstoaddressspecificproblemswithinthisfield.参赛者需要开发创新的数学模型、算法和解决方案来解决该领域中的特定问题。

　　Suchproblemsmayrangefromoptimizingnumbersequencestopredictingnumber-relatedtrendsandpatterns.这些问题可能包括优化数字序列到预测与数字相关的趋势和模式。

　　Theultimategoalistobridgethegapbetweenabstractnumbertheoryandpracticalapplications,therebypavingthewayforfurtheradvancementsinthisfield.

　　最终目标是弥合抽象数字理论与实际应用之间的差距，为该领域的进一步发展铺平道路。

　　The2023numbermodelingAtopicisnotmerelyamathematicalchallenge,butalsoacatalystforinterdisciplinarycollaborationandinnovation.2023年数模A题不仅仅是一个数学挑战，也是跨学科合作和创新的重要推动力。

　　Asthecompetitionunfolds,participantsareencouragedtothinkcritically,analyzecomplexproblems,andproposecreativesolutions.随着比赛的展开，参赛者被鼓励深入思考、分析复杂问题并提出创新的解决方案。

篇四：数模优秀论文

　　高教杯数模2023c题

　　英文回答：

　　MathematicalModelingfortheOptimizationofHealthcareExpenditures.

　　Introduction.

　　Inthefaceofrisinghealthcarecostsandlimitedresources,healthcaresystemsworldwidearefacingthechallengeofoptimizingexpenditureswhileensuringqualityofcare.Mathematicalmodelingplaysacrucialroleinaddressingthisissue,providingaframeworktoanalyzecomplexhealthcaresystems,identifyinefficiencies,andoptimizeresourceallocation.

　　Methodology.

　　Themathematicalmodelwedevelopedforthispurposeincorporatesasystemofequationsthatrepresentthe

　　relationshipsbetweenhealthcareexpenditures,patientoutcomes,andsystem-levelfactors.Themodelisbasedontheassumptionthathealthcareexpenditurescanbedividedintotwomaincategories:preventivecareandacutecare.

　　OptimizationObjectives.

　　Theprimaryobjectiveofourmodelistominimizetotalhealthcareexpenditureswhilemaximizingpatientoutcomes.Toachievethis,weconsiderarangeofoptimizationstrategies,including:

　　Cost-effectivenessanalysis:Evaluatingthecost-effectivenessofdifferenthealthcareinterventionstoidentifythosethatprovidethemostvalueformoney.

　　Predictiveanalytics:Usingdataminingandmachinelearningtechniquestopredictpatientoutcomesandidentifyhigh-riskpatientswhomaybenefitfromearlyintervention.

　　Resourcereallocation:Optimizingtheallocationof

　　resourcestoensurethattheyaredirectedtotheareaswheretheycanhavethegreatestimpactonpatientcare.

　　DataCollectionandAnalysis.

　　Toensuretheaccuracyandvalidityofourmodel,wecollecteddatafromavarietyofsources,including:

　　Costdata:Dataonhealthcareexpendituresfromgovernmentsources,hospitals,andinsurancecompanies.

　　Patientoutcomedata:Dataonpatientoutcomesfromelectronichealthrecords,surveys,andclinicaltrials.

　　System-leveldata:Dataonhealthcareworkforce,infrastructure,andpolicies.

　　Weanalyzedthisdatausingacombinationofstatisticalmethodsandcomputationalmodelingtechniques.

　　Results.

　　Ourmodelidentifiedseveralkeyopportunitiesforoptimizinghealthcareexpenditures,including:

　　Increasinginvestmentinpreventivecare:Byinvestinginpreventivecare,itispossibletoreducetheincidenceofchronicdiseasesandothercostlyhealthconditions.

　　Improvingcoordinationofcare:Byimprovingcoordinationbetweendifferenthealthcareproviders,itispossibletoreduceduplicationofservicesandimprovepatientoutcomes.

　　Targetinghigh-riskpatients:Byidentifyinghigh-riskpatients,itispossibletoprovidethemwithearlyinterventionandsupport,whichcanpreventordelaycostlycomplications.

　　Conclusion.

　　Ourmathematicalmodelprovidesapowerfultoolforoptimizinghealthcareexpenditureswhileensuringqualityofcare.Byincorporatingasystemofequationsthat

　　representtherelationshipsbetweenhealthcareexpenditures,patientoutcomes,andsystem-levelfactors,wecanidentifyinefficienciesanddevelopevidence-basedstrategiesforresourceallocation.

　　中文回答：

　　高教杯数模2023c题数学建模。

　　引言。

　　随着医疗成本的不断上升和资源的有限，全球医疗系统面临着优化支出并确保医疗质量的挑战。数学建模在解决这一问题中发挥着至关重要的作用，它提供了一个框架来分析复杂的医疗系统、识别低效率并优化资源配置。

　　方法。

　　我们为此目的开发的数学模型包含了一个方程组，该方程组表示了医疗支出、患者预后和系统级因素之间的关系。该模型基于这样的假设，医疗支出可以分为两大类，预防性护理和急症护理。

　　优化目标。

　　我们模型的主要目标是在最大化患者预后的情况下最小化总医疗支出。为了实现这一目标，我们考虑了一系列优化策略，包括：

　　成本效益分析，评估不同医疗干预措施的成本效益，以找出性价比最高的措施。

　　预测分析，利用数据挖掘和机器学习技术来预测患者预后，并识别可能从早期干预中受益的高危患者。

　　资源重新分配，优化资源配置，确保将其分配到对患者护理影响最大的领域。

　　数据收集和分析。

　　为了确保我们模型的准确性和有效性，我们从多种来源收集了数据，包括：

　　成本数据，来自政府机构、医院和保险公司的医疗支出数据。

　　患者预后数据，来自电子健康记录、调查和临床试验的患者预

　　后数据。

　　系统级数据，医疗保健劳动力、基础设施和政策的数据。

　　我们使用统计方法和计算建模技术的组合来分析这些数据。

　　结果。

　　我们的模型确定了优化医疗支出的几个关键机会，包括：

　　增加对预防性护理的投资，通过投资预防性护理，可以减少慢性疾病和其他昂贵健康状况的发生。

　　改善护理协调，通过改善不同医疗保健提供者之间的协调，可以减少服务的重复，并改善患者预后。

　　针对高危患者，通过识别高危患者，可以为他们提供早期干预和支持，从而可以预防或延缓昂贵的并发症。

　　结论。

　　我们的数学模型为优化医疗支出并确保医疗质量提供了一个有

　　力的工具。通过纳入一个代表医疗支出、患者预后和系统级因素之间关系的方程组，我们可以识别低效率并制定基于证据的资源分配策略。

篇五：数模优秀论文

　　研究生数模竞赛题目（2023年）

　　植物的多样性

　　植物作为食物链中的生产者，通过光合作用吸收二氧化碳，制造氧气，同时为其他生物提供食物和栖息地，支持它们的生存。植物在生态系统中还起到防止水土流失、缓解温室效应等作用。因此，植物的多样性有助于维持食物链的稳定、生态平衡以及生物的多样性。

　　在一片森林中生长着多种植物，不同种类的植物之间存在着不同的关系。请建立数学模型，解决以下问题：

　　问题1如果森林中各种植物之间是某一种单一关系，试研究各种植物数量变化的规律，并分析如何保持森林中植物的多样性。

　　问题2如果森林中各种植物之间存在几种不同的关系，试研究各种植物数量变化的规律，并分析如何保持森林中植物的多样性。

　　问题3现在发现一种外来植物入侵这片森林，导致森林中某些植物数量急剧减少，处于濒临灭绝的危险之中。为了清理这种入侵植物，森林管理部门准备采用某项特别措施（例如：采用焚烧的方式）。请给出这项特别措施的具体实施方案（例如：措施强度、持续时间等），使得在一定时间内，森林中原有植物的规模有所恢复，而不会出现灭绝的风险。

　　国际“合作-冲突”的演化规律研究

　　国家之间的“合作-冲突”行为具有复杂性和多变性，对其决策模式的研究有着重要的意义。例如，对国际冲突和危机的准确预测可以帮助决策者采取有效的措施来防止或缓解冲突，从而维护国家的和平与稳定。此外，掌握了国际行为的规律和趋势可以为政策制定者提供更加丰富和完善的政策制定依据。

　　由于受到国际环境、地缘政治、经济发展的不平衡等诸多因素的影响，使得国际“合作-冲突”的演化规律研究变得异常困难。事实上，各个国家在处理国际事务的过程中，已经形成了一系列的行为规则，这为演化规律的研究提供了一定的参考。对这些规则的发现与研究将有助于决策者和政策制定者制定出更为有效的策略。建立数学模型，完成如下的问题。

　　（1）

　　建立描述国家之间的“合作-冲突”模型，评估当前的国际环境；预测未来“合作-冲突”的演化趋势；评估当前的国际合作或区域性合作的可能性。

　　（2）

　　基于国际法、区域性组织的协定、以及各国自身的内外政策，建立国家之间的行为规范条例库。基于此库，建立突发事件下国家的规则应对模型。

　　要求：提出的方案有具体的指标和可行性。

篇六：数模优秀论文

　　2023年mathorcup高校数学建模b题

　　【最新版】

　　目录

　　一、2023年第十三届MathorCup高校数学建模挑战赛概述

　　二、MathorCup高校数学建模挑战赛的参赛队伍和赛程安排

　　三、2023年MathorCup数模B题赛题详解

　　四、参赛队伍的论文提交步骤和注意事项

　　五、预祝参赛队伍在竞赛中取得优异成绩

　　正文

　　一、2023年第十三届MathorCup高校数学建模挑战赛概述

　　2023年第十三届MathorCup高校数学建模挑战赛已圆满落幕。此次竞赛吸引了来自中国大陆高校以及昆山杜克大学、南安普顿大学、格拉斯哥大学、俄罗斯国立管理大学、卡迪夫大学、伊利诺伊大学等国际高校的参赛队伍。竞赛旨在通过数学建模的方式，培养学生的创新意识和团队协作精神，提高学生的实际问题解决能力。

　　二、MathorCup高校数学建模挑战赛的参赛队伍和赛程安排

　　MathorCup高校数学建模挑战赛每年举办一届，本届竞赛共有数百所高校的数千支队伍参赛。赛程分为四天，参赛队伍需要在规定时间内完成对赛题的研究和论文撰写。此次竞赛的报名时间、参赛时间以及论文提交时间均已公布在官方网站上，各参赛队伍需按时完成相关操作。

　　三、2023年MathorCup数模B题赛题详解

　　2023年MathorCup数模B题为城市轨道交通列车时刻表优化问题。列车时刻表优化问题是轨道交通领域行车组织方式的经典问题之一。列车时刻表规定了列车在每个车站的到达和出发（或通过）时刻，它在实际运用过程中，通常用列车运行图来表示。本次赛题要求参赛队伍针对城

　　市轨道交通列车时刻表进行优化，提高运行效率。

　　四、参赛队伍的论文提交步骤和注意事项

　　参赛队伍在完成赛题研究后，需按照官方要求提交论文。论文提交步骤如下：

　　1.队长登录报名主页，进入论文提交页面；

　　2.选择对应的赛题，填写参赛队伍信息；

　　3.上传论文电子版，确保论文格式符合官方要求；

　　4.确认无误后，提交论文。

　　在提交论文过程中，参赛队伍需注意以下几点：

　　1.论文需按照官方要求的格式进行排版；

　　2.论文中不能出现个人信息，如姓名、学校等；

　　3.论文提交后，不能修改。

　　五、预祝参赛队伍在竞赛中取得优异成绩

　　本届MathorCup高校数学建模挑战赛吸引了众多优秀队伍参赛，希望各参赛队伍在竞赛中充分发挥自己的实力，取得优异成绩。