导数应用教学案

　 导数的应用教学案

　一考纲要求：

　1 1 、 了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间( ( 其中多项式函数一般不超过三次) ) ．

　2 2 、 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值( ( 其中多项式函数一般不超过三次) ) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值( ( 多项式函数一般不超过三次) ) ．

　3 3 、会利用导数解决某些实际问题．

　二基础知识梳理：

　1 1、 、 函数 f f ( ( x x ) ) 在某个区间( ( a a ， b b ) ) 内的单调性与其导数的正负有如下关系：

　(1) 若，则 f f ( ( x x ) ) 在这个区间内单调递增；

　(2) 若，则 f f ( ( x x ) ) 在这个区间内单调递减．

　2 2 、 利用导数判断函数单调性的一般步骤．

　(1) 求；

　(2) 在定义域内解不等式；

　(3) 根据结果确定 f f ( ( x x ) ) 的单调区间．

　3 3 、 函数的极值与导数：

　已知函数 y y ＝ f f ( ( x x ) ) ，设 x x 0 0 是定义域内任一点，如果对 x x 0 0 附近的所有点 x x ，都有 f f ( ( x x )< f f ( ( x x 0 0 ) ) ，则称函数

　 f f ( ( x x ) ) 在点 x x 0 0 处取极大值，记作 y y极大 ＝ f f ( ( x x 0 0 ) ) ，并把 x x 0 0 称为函数 f f ( ( x x ) ) 的一个 极大值点 ．如果在 x x 0 0 附近都有 f f ( ( x x )> f f ( ( x x 0 0 ) ) ，则称函数 f f ( ( x x ) ) 在点 x x 0 0 处取极小值，记作 y y极小 ＝ f f ( ( x x 0 0 ) ) ，并把 x x 0 0称为函数 f f ( ( x x ) ) 的一个极小值点． 极小值点，极大值点 统称为极值点， 极大值和极小值 统称为极值．

　求极值的步骤：① 求 ；②求的根；③判定；④ 下结论 ．

　4 4 、 函数的最值：1 1 ）．如果在区间[ [ a a ， b b ] ] 上函数 y y ＝ f f ( ( x x ) ) 的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．

　2 2 ）．求函数 y y ＝ f f ( ( x x ) ) 在[ [ a a ， b b ] ] 上的最大值与最小值的步骤

　(1) 求函数 y y ＝ f f ( ( x x ) ) 在( ( a a ， b b ) ) 内的．

　(2) 将函数 y y ＝ f f ( ( x x ) ) 的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

　[ [ 究疑点] ]1 1 ．若函数 f f ( ( x x ) ) 在( ( a a ， b b ) ) 内单调递增，那么一定有 f f ′( ( x x 0 )>0 吗？ f f ′( ( x x 0 )>0 是否是 f f ( ( x x ) ) 在( ( a a ， b b ) ) 内单调递增的充要条件？

　2 2 ．导数为 0 0 的点一定是极值点吗？

　三典型例题：

　考点一：

　函数的单调性与导数

　 1. 求下列函数的单调区间：

　(1) y y ＝ x x3 3 － 1 12 2 x x2 2 －2 2 x x ＋5 5； ； (2) y y ＝2 2 x x2 2 －ln x x . .

　2. 已知函数 f f ( ( x x ) ) ＝ x x 3 3 － ax 2 2 －3 3 x x 在 [1 ，＋∞) ) 上是增函数，求实数 a a 的取值范围。

　考点二：

　函数的极值与导数

　3. 已知函数 f f （x x ）= = （－x x2 2 ＋ 2x ）e ex x （x x ∈R R ），求函数 f f （x x ）的单调区间和极值。

　 4. 已知 3 x=3 是函数 f f （x x）

　）n =aln （1 1 ＋x x ）＋x x2 2 －x 10x 的一个极值点. .

　（1 1 ）求 a a ；（2 2 ）求函数 f f （x x ）

　的单调区间；

　（3 3 ）若直线 b y=b 与函数 y=f （x x ）

　的图象有 3 3 个交点，求 b b 的取值范围。

　考点三：

　函数的最值与导数

　5. 函数 f f ( ( x x ) ) ＝2 2 x x 3 3 －3 3 x x 2 2 － 12 x x ＋5 5 在 [0,3] 上的最大值是________ ，最小值是 ________ ．

　 6. 已知 f f ( ( x x ) ) ＝ ax 3 3 －2 2 ax 2 2 ＋ b b ( ( a a ≠ 0) ，是否存在正实数 a a ， b b 使得f f ( ( x x ) ) 在区间[ [ － 2,1] 上的最大值是 5 5 ，最小值是－ 11 ？若存在，求出 a a ， b b 的值及相应函数 f f ( ( x x ) ) ；若不存在，请说明理由．

　考点四：

　生活中的优化问题

　7. (2010· 山东高考) ) 已知某生产厂家的年利润 y y ( ( 单元：万元) ) 与年产量 x x ( ( 单位：万件) ) 的函数关系式为 y y ＝－ 1 13 3 x x3 3 ＋ 81 x x － 234 ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为

　( (

　) )

　A A ．3 13 万件

　B B ．1 11 万件 C C ．9 9 万件

　D D ．7 7 万件

　8. 某工厂每天生产某种产品最多不超过 0 40 件，并且在生产过程中产品的正品率 P P 与每日生产量 x x ( ( x x ∈N N + + ) ) 件之间的关系为 P P ＝4 200 － x x2 24 500，每生产一件正品盈利 0 4000 元，每出现一件次品亏损0 2000 ． 元．( ( 注：正品率＝产品中的正品件数 ÷ 产品总件数 ×100%)

　(1) 将日利润 y y ( ( 元) ) 表示成日产量 x x ( ( 件) ) 的函数；

　(2) 求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．

　 1 1 ．函数 f f ( ( x x ) ) ＝2 2 x x4 4 －3 3 x x2 2 ＋1 1 在区间[ [ 1 12 2 ， 2] 上的最大值和最小值分别是( (

　) )

　A A ． 21 ，－ 1 18 8

　 B B ．1 1 ，－ 1 18 8 C C ． 21,0

　D D ．0 0 ，－ 1 18 8

　 2 2 ．函数 f f ( ( x x ) ) ＝1 1 ＋ x x － sin x x 在 (0,2π) 上是( (

　) )

　A A ．增函数 B B ．减函数

　C C ．在 (0， ， π) 上增，在 (π， ， 2π) 上减 D D ．在 (0， ， π) 上减，在 (π ，2π) 上增

　3 3 ． 函数 f f ( ( x x ) ) ＝ x x3 3 ＋3 3 x x2 2 ＋4 4 x x － a a 的极值点的个数是( (

　) )

　A A ．2 2

　B B ． 1C ．0 0

　D D ．由 a a 确定

　4. 已知 f f ( ( x x ) ) ＝ x x3 3 － ax 在 [1 ，＋ ∞) 上是单调增函数，则 a a 的最大值是( (

　) )

　A A ．0 0

　B B ． 1C ．2 2

　D D ．3 3

　5.f f ( ( x x ) ) 的导函数 f f ′( x x ) ) 的图象如图所示，则函数 f f ( ( x x ) ) 的图象最有可能的是图中的( (

　) )

　6 6 ． f f ( ( x x ) ) 是定义在 (0 ，＋ ∞) 上的非负可导函数，且满足 xf ′( x x ) )＋ f f ( ( x x )≤0 ，对任意正数 a a ， b b ，若 a a < < b b ，则必有( (

　) )

　 A A ． af ( ( b b )≤ bf ( ( a a ) )

　B B ． bf ( ( a a )≤ af ( ( b b )C ． af ( ( a a )≤ f f ( ( b b ) )

　D D ． bf ( ( b b )≤ f f ( ( a a ) )

　7 7 ．函数 f f ( ( x x ) ) ＝ 1 12 2 x x2 2 － ln x x 的最小值为 ________ ．

　8 8 ．已知函数 f f ( ( x x ) ) ＝ x x3 3 ＋ ax2 2 ＋ bx ＋ a a2 2 在 x x ＝1 1 处取极值 10 ，则 f f (2)＝ ________.

　9. 已知函数 f f( (x x) ) ＝x x3 3 ＋ (1 －a a )·x x2 2 －a a( (a a ＋ 2)x x ＋b b( (a a ，b b ∈ R) ．

　若函数 f f ( ( x x ) ) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3 3 ，求a a ，b b 的值；

　（2 2 ）若函数 f f ( ( x x ) ) 在区间( ( － 1,1) 上不单调，求 a a 的取值范围．

　10. 已知函数 f f ( ( x x ) ) ＝ x x ln x x .(1) 求 f f ( ( x x ) ) 的最小值； (2) 讨论关于 x x的方程 f f ( ( x x ) ) － m m ＝ 0( m m ∈ R) 的解的个数．

　 1 1. . 若函数 在区间（1 1， ，4 4 ）内为减函数，在区间（6 6 ，+ + ∞）上为增函数，则 的取值范围是. .

　2. 已知函数 f f ( ( x x ) ) ＝ 1 13 3 x x3 3 ＋ ax2 2 － bx ( ( a a ， b b ∈ R) ．若 y y ＝ f f ( ( x x ) ) 图象上的点 (1 ，－ 113 3) ) 处的切线斜率为－4 4 ，求 y y ＝ f f ( ( x x ) ) 的极大值．

　3. 已知函数 f f （x x ）

　=lnx－ － ，

　（1 1 ）当 0 a>0 时，判断 f f （x x ）在定义域上的单调性；

　（2 2 ）若 f f （x x ）在 [1,e]为 上的最小值为 ，求 a a 的值；

　3 21 1( ) ( 1) 13 2f x x ax a x     aax32

　 4. （9 2009 东 山东 21 ）

　已知函数 , , 其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

　当 满足什么条件时, , 取得极值? ?

　已知 , , 且 在区间 上单调递增, ,用 试用 出 表示出 的取值范围. .

　5. (2010· 全国卷 Ⅰ) ) 已知函数 f f ( ( x x ) ) ＝3 3 ax4 4 － 2(3 a a ＋ 1) x x2 2 ＋4 4 x x . .

　(1) 当 a a ＝ 1 16 6 时，求 f f ( ( x x ) ) 的极值；

　(2) 若 f f ( ( x x ) ) 在( ( － 1,1) 上是增函数，求 a a 的取值范围．

　3 21( ) 33f x ax bx x     0 a b a, ) (x f0  a ) (x f (0,1] a b