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最新数值分析实验报告176453x|

2021-11-05 13:21:37| 浏览量：

实验报告

实验项目名称实验室

实验项目名称

实验室

所属课程名称

实验类型

实验日期

数学实验室

数值逼近

算法设计

级

号

名

实验概述：

【实验目的及要求】

值方法：牛顿在

值方法：牛顿

在MATLAB件中

本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并去实现。

【实验原理】

《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日

插值的相应算法和相关性质。

【实验环境】（使用的软硬件）软件：

MATLAB 2012a

硬件：电脑型号：联想 Lenovo昭阳E46A笔记本电脑

操作系统： Win dows 8专业版

处理器：In tel ( R Core( TM i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz

实验内容：

【实验方案设计】

第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用 MATLAB现;

第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计 MATLA程序，利用程序算出

问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。

实验一：

已知函数在下列各点的值为

0.2

0.4

0.6

.0.8

1.0

f ( xi)

0.98

0.92

0.81

0.64

0.38

试用4次牛顿插值多项式 P4（ x ）及三次样条函数 S（ x）（自然边界条件）对数据进行插值。

用图给出{（ Xi , yi）, Xi=0.2+0.08i , i=0 , 1, 11, 10 } , P4 （ x）及 S （ x）。

4次牛顿插值多项式处理数据。（1）

4次牛顿插值多项式处理数据。

已知n次牛顿插值多项式如下：

f=f (X 0) +f[X 0,X1] (X-X 0) + f[X O,X1,X2] (X-X 0)( X-X 1) + + f[x O,X1 ,为](X-X

0)我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。

在MATLAB勺Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下:

fun cti on varargout=n ewt on liu(vararg in) clear,clc x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

fx=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];

n ewt on chzh(x,fx);

fun cti on n ewt on chzh(x,fx)

%由此函数可得差分表

n=len gth(x);************fprintfFF=on es( n,n);

n=len gth(x);

************

fprintf

FF=on es( n,n);

FF(:,1)=fx : for i=2: n

差分表

********************

*******

**\n'

);

for j=i:n

FF(j,i)=(FF(j,i-1)-FF(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-i+1));

end

end for i=1: n

fprin tf('%4.2f,x(i));

for j=1:i

fprin tf('%10.5f,FF(i,j));

end fpri n tf('\n');

end

由MATLAB+算得:

f(Xi)

一阶差商

二阶差商

四阶差商

0.20

0.980

0.40

0.920

-0.30000

0.60

0.810

-0.55000

-0.62500

0.80

0.640

-0.85000

-0.75000

-0.20833

1.00

0.380

-1.30000

-1.12500

-0.62500

-0.52083

所以有四次插值牛顿多项式为：

(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)(x-0.8 )

(2)接下来我们求三次样条插值函数。

用三次样条插值函数由上题分析知 ,要求各点的M值:

0.500

-3.7500

0.500

0.50

-4.5000

0.500

0 2

0.500

-6.7500

三次样条插值函数计算的程序如下

function tgsanci(n,s,t) %n 代表元素数，s,t 代表端点的一阶导。

x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];

n=5

for j=1:1: n-1

h(j)=x(j+1)-x(j);

end

for j=2:1: n-1

丽h(j)/(h(j)+ha-1));

end

for j=1:1: n-1

u(j)=1-r(j);

end

for j=1:1: n-1

f(j)=(y(j+1)-y(j))/h(j);

d(j)=6*(f(j)-f(j-1))/(h(j-1)+h(j));

end

d(1)=0 d(n )=0 a=zeros( n,n);

for j=1:1: n

a(i,i)=2;

end

TOC \o "1-5" \h \z 3 3

-1.33930.6 x )3 0.8929(x-0.4)—3 4.65360.6 x—)4.0857(x 0.4—) , x S(x)= [0406

3 3

-0.89290.8 X) -2.5893 X-0.6) 4.08570.8 x ) 3.3036x 0.6 ) , x ]

-2.58931.0 x ) 3-0(x 0.8 )33036(1.0 x ) 1.9(x 0.8) , x [0.8,1.0] [0.6,0.81

接着，在Comma nd Window里输入画图的程序代码，

下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：

x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];

Plot(x,y)

hold on

for i=1:1:5

y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.62500*(x(i)-0.2)*(x (i)-0.4)

-0.20833*(x (i)-0.2)*(x (i)-0.4)*(x (i)-0.6)-0.52083*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.

end

k=[0 1 10 11]

x0=0.2+0.08*k

for i=1:1:4

y0(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.62500*(x(i)-0.2)*(x (i)-0.4)

-0.20833*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x (i)-0.6)-0.52083*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.

end

plot( xO,yO,'o',xO,yO )

hold on

y1=spli n e(x,y,xO)

plot(x0,y1,'o')

hold on

s=csape(x,y,'variatio nal')

fnplt(sy)

hold on

gtext('三次样条自然边界')

gtext('原图像')

gtext('4 次牛顿插值')

运行上述程序可知：给出的｛ (X, yi), xi=0.2+0.08i , i=0 , 1,11,10｝点，S (x)及 P4 (x)图

形如下所示：

实验

在区间［-1,1 :上分别取n 10,20用两组等距节点对龙格函数

f(x)

1 25x2

作多项式插值及

得到插值函数和f

得到插值函数和f (x)图形:

三次样条插值，对每个 n值，分别画出插值函数即 f(x)的图形。

我们先求多项式插值：

在MATLAB的Editor中建立一个多项式的 M-file,输入如下的命令(如牛顿插值公式)

fun ctio n [ C,D]=n ewpoly(X,Y)

n=le n gth(X);

D=zeros (n,n)

D(:,1)=Y'

for j=2: n

for k=j:n

|D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));

end

C=D( n,n);

for k=( n-1):-1:1

C=co n v(C,poly(X(k)))

m=le n gth(C);

C(m)= C(m)+D(k,k);

end

当n=10时，我们在 Comma nd Win dow中输入以下的命令： clear,clf,hold on;

X=-1:021;

Y =1./(1+25*X. A2);

[C,D]=newpoly(X, Y);

x=-1:0.01:1;

y=polyval(C,x);

plot(x,y,X, Y,'.');

grid on;

xp=-1:0.2:1;

z=1./(1+25*xp.A2);

plot(xp, z,'r')

当n=20时，我们在 Comma nd Win dow中输入以下的命令：clear,clf,hold on;

X=-1:0.1:1;

Y =1丿(1+25*X. A2);

[C,D]=newpoly(X, Y);

x=-1:0.01:1;

y=polyval(C,x);

plot(x,y,X, Y,'.');

grid on;

xp=-1:0.1:1;

z=1./(1+25*xp.A2);

plot(xp, z,'r')

得到插值函数和f (x)图形:

F面再求三次样条插值函数，在MATLAB的

F面再求三次样条插值函数，在

MATLAB的Editor中建立一个多项式的

M- file,

输入下列程序代码:

fun ctio n S=csfit(X,Y,dxO,dx n)

N=le n gth(X)-1;

H=diff(X);

D=diff( Y)./H;

A=H(2:N-1);

B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));

C=H(2:N);

U=6*diff(D);

B(1)=B(1)-H(1)/2;

U(1)=U(1)-3*(D(1));

B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;

U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));

for k=2:N-1

temp=A(k- 1)/B(k -1);

B(k)=B(k)-temp*C(k -1);

U(k)=U(k)-temp*U(k -1);

end

M(N)=U(N-1)/B(N-1);

for k=N-2:-1:1

M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);

end

M(1)=3*(D(1)-dxO)/H(1)-M(2)/2; M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;

for k=0:N-1

S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1)); S(k+1,2)=M(k+1)/2;

S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6; S(k+1,4)=Y(k+1);

end

clear,clc当 n=10 时，我们在 Comma nd Win dow 中输入以下的命令 : X=-1:0.2:1;

clear,clc

Y=1./(25*X. A2+1);

dx0= 0.0739644970414201;dx n= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dx n)

x1=-1:0.01:-0.5;y 仁 polyval(S(1,:),x1-X(1)); x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X (2));

x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3)); x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X (4));

Plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.') 结果如图：

clear,clc

X=-1:0.1:1;

Y =1./(25*X92+1);

dxO= 0.0739644970414201;dx n= -0.0739644970414201;

S=csfit(X，丫 ,dxO,dx n)

x1= -1:0.01:-0.5;y 仁 polyval(S(1,:),x1 -X(1));

x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X (2));

x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3 -X( 3));

x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X (4));

Plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')

结果如图：

1 0 8 0 6 O 4 0 ? 0 O 2 0 A G 6 O 8

实验三:

F列数据点的插值

诃以得到平方根函数的近似，*区间 [0,64]上作图。

(1)用这9务点作8次多项式扌rfi伯 L 8(x),

[0,1:上，两(2)用三次样条(自然边界条件)程序求S (x)。从结果看在[0,64

[0,1:上，两

L8（X）可由公式 L n（x）= y klk（xj ）得出

k 0

三次样条可以利用自然边界条件。写成矩阵:

0 0 0

d°

1 0 0

2 2 0

3 2 3

0 4 2

h j-1

其中j =

hj-1 hi

，i=

i -1 h

，dj=6f[x

n= 0=0 d 0=dn=0

O 匕-1)(Xx -0)Q4)( X 19Xx 4)(X6)(x 9)(￡5)( x 25)3欽 x36)(49499( x 娜

TOC \o "1-5" \h \z = 但16(0 0)(1@)(0 1)(9员0 4)(16>(0 9)(165)(25)(36)(0 3649)60~~494(16 64)

(x -0 )(xx-0)(xl)( x19((x 4)佑)(x 9)(x>5)(1X)(x 36)36)( x 49)(x x 64)64)

h(xx) (251 0)0)(25 1)(25 9)(4)(256)(1 9)(25)(1 16)3250 36)(25 649)(25 64)

= (x-0嬉-1)发(% )(x 4)(x?)(x 9)()25)(1X)(x36)( 25)()499()(x 64) 64)

12( x) (36 00)(36 1)(卒)(39)(44)(366)(4 9)(鉤(4 16)3360 25)936—49)36 64)"

=6(X) (x -0)(x x-0)1x(x1)(x 4)(x 41x)(x 9)(25)(1X)(x36)( 25)( x4360xx 6464)

= (90)(90)(49 1)(91)(44)(94)(496)(9 9)(25)(9 16)349(9 25949 34)(49 64)

| 3( X) (X - -1)(x 4)( x 9)( x 16)(x 25)( X 36)( X 49)

=7(X) (64 0)(x)(64 1)(64 4)(64 9)(64 16)(64 25)(64 36)(64 49)"

|8(X)

L8(

L8( x)= 1 1 (X)+2 I 2( x)+3 I 3( x)+4 I

4(x)+5 I

5( x)+6 I 6(x)+7 I 7(x)+8 I

8(X)

2.0000

0.2500

2.0000

0.7500

M !

1.0

0.3750

2.0000

0.6250

0.1

0.4167

2.0000

0.5833

0.0286

0.4375

2.0000

0.5625

0.0119

0.4500

2.0000

0.5500

0.0061

0.4583

2.0000

0.5417

0.0035

0.4634

2.0000

0.5357 M

0.0022

2.0000

求三次样条插值函数由 MATLA时算:

可得矩阵形式的线性方程组为

%n代表元素数，

%n代表元素数， s,t代表端点的一阶导

fun cti on tgsa nci(n, s,t)

y=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];

x=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];

n=9

for j=1:1: n-1

h(j)=x(j+1)-x(j); |

end

for j=2:1: n-1

r(j)=h(j)/(h(j)+h(j-1)); |

end

for j=1:1: n-1

u(j)=1-r(j);

end

for j=1:1: n-1

f(j)=(y(j+1)-y(j))/h(j); end

for j=2:1: n-1 d(j)=6*(f(j)-f(j-1))/(h(j-1)+ha)) end

d(1)=0

d(n )=0

a=zeros (n,n);

for j=1:1: n

a(j,j)=2;

end

r(1)=0; u( n )=0;

for j=1:1: n-1

a(j+1,j)=u(j+1);

a(j,j+1)=r(j);

end

b=i n v(a)

for j=1:1: n-1 p(j,1)=m(j)/(6*h(j)); p(j,2)=ma+1)/(6*h(j));

P(j , 3)=(y(j)-m(j)*(h(j)A2/6))/h(j); P (j ,

4)=(y(j+1)-m(j+1)*(h(j) 2/6))/h(j); end

解得:

MO=O;M i =-0.5209;M 2=0.0558;M 3=-0.0261;M 4=0.0006;M 5=-0.0029;M 6=-0.0008;M 7=--0.0009;

-0), x [0,1]0(1 x )3 0.0868(x 0) 3 0(1 x

-0), x [0,1]

0.0019(9 x )3

0.0009(x -4 )3

x [4,9]

-0.0006(16 x )3

0(x 9)3 0.4590

(16

x) - 0.5708(x-9)

，x [9,16]

0(25

x)3 - 0.0001

16)3-0.4436 (

x) 0.5600(x -16)，

x [16,25]

0(36

x)3- 0( x

25)3

0.4599 (36

0.5470(x -25) ，x

[25,36]

0(48

x)3- 0( x

36)3

0.4633 (48

0.5404(x -36) ，x

[36,48]

0(64

x)3 0(x

48)3

0.4689 ( 64

0.5333(x -48) ，x

[48,64]

-0.0289(4 x )3 - 0.003 ( x -1)3

0.5938( 4 x ) 0.6388 (x 1 )

x [1,4]

M=0,则三次样条函数：

%画图形比较那个插值更精确的函数：

x0=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];

y0=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; 0.3535( 9 x ) 0.6271 ( x 4 )

S(x)=x=0：64;y=lagr1(x0,y0,x);

plot(x0,y0,'o')

hold on

plot(x,y,'r');

hold on;

F面进行画图，在 Comma nd Win dow 中输入画图的程序代码：

pp=csape(x0,y0,'variatio nal')

fnplt(pp,'g');

hold on;

plot(x0,y0,':b');hold on

%axis([0 2 0 1]); %看[0 1]区间的图形时加上这条指令

gtext ('三次样条插值')

gtext ('原图像')

gtext ('拉格朗日插值')

%F面是求拉格朗日插值的函数

0.2

0.4

0.6

0.8

100

"T"

~r~

—

拉格

朗日插值

■

T fW

■

g 橡

壬人 vr

1 IH

0 10 20 30 40 50 60 70

图3 — 2

由图3-1可以看出，红色的线条与蓝色虚线条几乎重合，所以可知拉格朗日插值函数的曲线

更接近开平方根的函数曲线，在［0, 1:朗格朗日插值更精确。而在区间［0, 64］上从图3-2中可以

看出蓝色虚线条和绿色线条是几乎重合的，而红色线条在［30, 70］之间有很大的振荡，所在在区

间［0, 64］三次样条插值更精确写。

【结论】（结果）

分段低次插值则单个多项式高次插值效果并不理想，有龙格现象，偏差大，没有使用价值。而

分段低次插值则

稳定性，与分段低次插值相比较精确度较高，拟合效果较好，而三次样条插值具有良好的收敛性与光滑度更高，而且提供的信息也相对少一些。我们可以看到，在以上的三道实验题里，我们可以从图形中看出，三次样条的拟合程度是三种插值函数里最好的。

稳定性，与分段低次插值相比较

小结】

通过此次实验，我对牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值有了更进一步的了解，知道了三次样条的拟合程度在高次的情况下更高，在理论上和应用上都有重要意义，在利用计算机编程软件进行高次插值的时候，我们可以多考虑利用三次样条进行插值。

指导教师评语及成绩

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